PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 (1º exame) da UERJ 2015

1º exame · Matemática · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Utilize as informações a seguir para responder às questões de números 27 e 28. · 1º Exame de Qualificação

Uma loja identifica seus produtos com um código que utiliza 16 barras, finas ou grossas. Nesse sistema de codificação, a barra fina representa o zero e a grossa o 1. A conversão do código em algarismos do número correspondente a cada produto deve ser feita de acordo com esta tabela:

Código Algarismo
0000 0
0001 1
0010 2
0011 3
0100 4
Código Algarismo
0101 5
0110 6
0111 7
1000 8
1001 9

Observe um exemplo de código e de seu número correspondente:

Código formado por 16 barras verticais, na sequência: fina, fina, fina, fina, fina, grossa, grossa, grossa, fina, fina, grossa, fina, grossa, fina, fina, grossa. = 0729

Existe um conjunto de todas as sequências de 16 barras finas ou grossas que podem ser representadas.

Escolhendo-se ao acaso uma dessas sequências, a probabilidade de ela configurar um código do sistema descrito é:

  1. A
    \frac{5}{2^{15}}
  2. B
    \frac{25}{2^{14}}
  3. C
    \frac{125}{2^{13}}
  4. D
    \frac{625}{2^{12}}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O conjunto de todas as sequências possíveis é formado por 16 posições, cada uma com 2 opções (fina ou grossa). Pelo princípio multiplicativo, o total é 2^{16}.

Agora vamos contar as sequências que são códigos válidos. O código tem 4 blocos de 4 barras, e cada bloco deve ser um dos códigos da tabela, que representa um algarismo de 0 a 9. Cada bloco tem, portanto, 10 possibilidades válidas, de um total de 2^4 = 16 sequências de 4 barras.

Como os 4 blocos são independentes, o número de códigos válidos é:

10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4

A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e o total:

P = \frac{10^4}{2^{16}} = \frac{2^4 \cdot 5^4}{2^{16}} = \frac{5^4}{2^{12}} = \frac{625}{2^{12}}

Outra forma de ver: cada bloco é válido com probabilidade \frac{10}{16} = \frac{5}{8}, e \left(\frac{5}{8}\right)^4 = \frac{625}{4096} = \frac{625}{2^{12}}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa só 5^1 no numerador e 2^{15}, sem elevar corretamente as 4 escolhas independentes.
  • BUsa 5^2 (apenas dois blocos), ignorando que são quatro blocos de algarismos.
  • CUsa 5^3 (três blocos), esquecendo um dos quatro algarismos.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Princípio fundamental da contagem.

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Ver como caiu na prova Questão 28 no caderno 1º Exame de Qualificação da UERJ 2015

Fonte: UERJ 2015 · 1º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗