PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 (2º exame) da UERJ 2015

2º exame · Matemática · Matemática: Função quadrática

Um triângulo equilátero possui perímetro P, em metros, e área A, em metros quadrados. Os valores de P e A variam de acordo com a medida do lado do triângulo.

Desconsiderando as unidades de medida, a expressão Y = P - A indica o valor da diferença entre os números P e A.

O maior valor de Y é igual a:

  1. A
    2\sqrt{3}
  2. B
    3\sqrt{3}
  3. C
    4\sqrt{3}
  4. D
    6\sqrt{3}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Chame de x o lado do triângulo equilátero. Então:

  • perímetro: P = 3x
  • área: A = \dfrac{x^2\sqrt{3}}{4}

A diferença é uma função do 2º grau em x:

Y = 3x - \frac{\sqrt{3}}{4}x^2

Como o coeficiente de x^2 é negativo (-\frac{\sqrt{3}}{4}), a parábola tem concavidade para baixo e, portanto, possui valor máximo no vértice.

  1. Calcule o x do vértice: x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{3}{2\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)} = \dfrac{3\cdot 4}{2\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}.

  2. Substitua em Y: x_v^2 = 12, então

    Y = 3\cdot 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 12 = 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}

Conferindo pela fórmula y_v = -\dfrac{\Delta}{4a}: \Delta = 9 e 4a = -\sqrt{3}, logo y_v = \dfrac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}. Confere.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem calcula só o perímetro 6\sqrt{3} no lado x=2\sqrt{3} e esquece de subtrair a área.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o vértice; não resulta da substituição de x=2\sqrt{3} em Y.
  • CErro de conta ao calcular o vértice ou o valor máximo de Y.
  • DÉ apenas o perímetro P=3x no vértice (6\sqrt{3}), esquecendo de subtrair a área 3\sqrt{3}.

Assuntos: Função quadrática, Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 25 no caderno 2º Exame de Qualificação da UERJ 2015

Fonte: UERJ 2015 · 2º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗