PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 24 (2º exame) da UERJ 2015

2º exame · Matemática · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro 3R, conforme ilustra a imagem.

Setor circular de centro O e vértices A e B, com raios OA e OB medindo R, arco AB medindo R e ângulo central indicado por $\Theta$

A área do setor equivale a:

  1. A
    R^2
  2. B
    \frac{R^2}{4}
  3. C
    \frac{R^2}{2}
  4. D
    \frac{3R^2}{2}
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Resolução comentada

O perímetro do setor é a soma dos dois raios com o comprimento do arco: P = R + R + \ell.

Como P = 3R, temos:

  1. 2R + \ell = 3R
  2. \ell = R (o arco mede R, como a figura também indica).

O comprimento do arco é \ell = \Theta \cdot R, com \Theta em radianos. Então \Theta \cdot R = R, e portanto \Theta = 1\ \text{rad}.

A área de um setor circular é proporcional ao ângulo. Para o círculo inteiro (2\pi rad), a área é \pi R^2. Para o ângulo \Theta:

A = \frac{\Theta}{2\pi}\cdot \pi R^2 = \frac{\Theta R^2}{2}

Substituindo \Theta = 1:

A = \frac{R^2}{2}

Outra forma de ver: A = \dfrac{\ell \cdot R}{2} = \dfrac{R\cdot R}{2}, igual à área de um triângulo de base \ell e altura R.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa \Theta R^2, esquecendo de dividir por 2 na fórmula da área do setor.
  • Bdivide por 4, sem respaldo na fórmula \Theta R^2/2.
  • Dusa o perímetro 3R no lugar do arco, calculando 3R\cdot R/2.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Ver como caiu na prova Questão 24 no caderno 2º Exame de Qualificação da UERJ 2015

Fonte: UERJ 2015 · 2º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗