PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 (2º exame) da UERJ 2015

2º exame · Matemática · Matemática: Permutações

Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo:

(B,B,M,C,M,C) ou (B,M,M,C,B,C) ou (C,M,M,B,B,C)

O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a:

  1. A
    6
  2. B
    90
  3. C
    180
  4. D
    720
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Resolução comentada

Nas sequências dadas, cada sabor aparece exatamente 2 vezes. Por exemplo, (B,B,M,C,M,C) tem 2 B, 2 M e 2 C. Então a criança tem 2 picolés de cada sabor, e o que muda é a ordem em que ela os consome, ao longo dos 6 dias.

Isso é uma permutação com repetição. Se os 6 picolés fossem todos diferentes, haveria 6! ordens. Como picolés do mesmo sabor são indistinguíveis, trocar de lugar dois B (ou dois M, ou dois C) não gera uma sequência nova. Por isso dividimos por 2! para cada sabor repetido:

  1. Total de ordens se fossem diferentes: 6! = 720.
  2. Correção pelos sabores repetidos: 2!\cdot 2!\cdot 2! = 8.
  3. Número de modos distintos:
\frac{6!}{2!\,2!\,2!} = \frac{720}{8} = 90

Outra forma de chegar ao mesmo valor: escolha os 2 dias dos B entre 6, \binom{6}{2}=15. Depois os 2 dias dos M entre os 4 restantes, \binom{4}{2}=6. Os C ocupam os 2 dias que sobram, 1 modo. Então 15\cdot 6\cdot 1 = 90.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem usa 6!=720 sem notar que picolés do mesmo sabor são indistinguíveis.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConfunde o número de picolés (6) com o número de sequências, ignorando que a ordem importa.
  • CDivide 6! por apenas 4, em vez de 2!\cdot2!\cdot2!=8, corrigindo só parte das repetições.
  • DCalcula 6! como se todos os picolés fossem diferentes, sem descontar os sabores repetidos.

Assunto: Permutações.

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Ver como caiu na prova Questão 26 no caderno 2º Exame de Qualificação da UERJ 2015

Fonte: UERJ 2015 · 2º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗