Questão 43 (2º exame) da UERJ 2013

Question

Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura:

Esquema de um macaco mecânico em formato de losango formado pelos vértices A, N, B e M, atravessado horizontalmente por um parafuso com manivela nos vértices M e N, e com uma cota indicando a distância vertical entre A e B como y

Considere as seguintes medidas: \text{AM} = \text{AN} = \text{BM} = \text{BN} = 4\text{ dm}; \text{MN} = x\text{ dm}; \text{AB} = y\text{ dm}.

O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a:

A
\sqrt{16 - 4x^2}
B
\sqrt{64 - x^2}
C
\dfrac{\sqrt{16 - 4x^2}}{2}
D
\dfrac{\sqrt{64 - 2x^2}}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 43 (2º exame) da UERJ 2013

2º exame · Ciências da Natureza e Matemática · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura:

Esquema de um macaco mecânico em formato de losango formado pelos vértices A, N, B e M, atravessado horizontalmente por um parafuso com manivela nos vértices M e N, e com uma cota indicando a distância vertical entre A e B como y

Considere as seguintes medidas: \text{AM} = \text{AN} = \text{BM} = \text{BN} = 4\text{ dm}; \text{MN} = x\text{ dm}; \text{AB} = y\text{ dm}.

O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a:

A
\sqrt{16 - 4x^2}
B
\sqrt{64 - x^2}
C
\dfrac{\sqrt{16 - 4x^2}}{2}
D
\dfrac{\sqrt{64 - 2x^2}}{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A figura é um losango de lado 4 dm, com diagonais MN (horizontal, de medida x) e AB (vertical, de medida y). As diagonais de um losango se cruzam no ponto médio de cada uma e são perpendiculares.

Seja O o ponto de encontro das diagonais. Então:

MO = \dfrac{x}{2}
AO = \dfrac{y}{2}
o triângulo AOM é retângulo em O, com hipotenusa AM = 4.

Aplicando Pitágoras:

\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{2}\right)^2 = 4^2
\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{4} = 16
x^2 + y^2 = 64
y^2 = 64 - x^2
y = \sqrt{64 - x^2}

Como y é um comprimento, tomamos só a raiz positiva.

Conferindo: se x = 0, o macaco está todo fechado na vertical e y = 8, que é 4 + 4. Se x = 8, ele está todo aberto na horizontal e y = 0. Os dois casos batem com a fórmula.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa \sqrt{16-4x^2}, que vem de esquecer de dobrar as metades das diagonais; para x=0 daria y=4, e não 8.
Cé a alternativa A dividida por 2, resultado de um erro de álgebra que não confere nem com x=0.
Derra na manipulação da equação x^2+y^2=64, colocando um fator 2 e uma divisão que não existem.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 43 no caderno 2º Exame de Qualificação da UERJ 2013

Fonte: UERJ 2013 · 2º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗