PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 42 (2º exame) da UERJ 2012

2º exame · Ciências da Natureza e Matemática · Matemática: Princípio fundamental da contagem

A tabela abaixo apresenta os critérios adotados por dois países para a formação de placas de automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano.

PAÍS DESCRIÇÃO DO CRITÉRIO EXEMPLO DE PLACA
X 3 letras e 3 algarismos, em qualquer ordem M3MK09
Y um bloco de 3 letras, em qualquer ordem, à esquerda de outro bloco de 4 algarismos, também em qualquer ordem YBW0299

Considere o número máximo de placas distintas que podem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y igual a p.

A razão \frac{n}{p} corresponde a:

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    6
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Resolução comentada

Para comparar, calculamos n e p separadamente com o princípio multiplicativo.

País Y: o formato é fixo, com 3 letras seguidas de 4 algarismos. Cada letra tem 26 possibilidades e cada algarismo tem 10:

p = 26^3 \cdot 10^4

País X: são 3 letras e 3 algarismos em qualquer ordem. Primeiro escolhemos em quais das 6 posições ficam as letras (as outras 3 ficam com algarismos):

\binom{6}{3} = \frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1} = 20

Para cada escolha de posições, as letras podem ser preenchidas de 26^3 modos e os algarismos de 10^3 modos:

n = 20 \cdot 26^3 \cdot 10^3

Razão:

\frac{n}{p} = \frac{20 \cdot 26^3 \cdot 10^3}{26^3 \cdot 10^4} = \frac{20}{10} = 2

O fator 20 aparece porque, no país X, a ordem entre letras e algarismos varia. No país Y, ela é fixa, e o quarto algarismo (fator 10 a mais) reduz a razão de 20 para 2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que no país X as letras e os algarismos podem ocupar posições variadas, e não as diferenças de tamanho dos blocos.
  • CNão corresponde a nenhuma contagem correta; não surge do cálculo de 20\cdot26^3\cdot10^3 sobre 26^3\cdot10^4.
  • DUsa 3!=6 para a ordem em vez de \binom{6}{3}=20 e não compara corretamente com os 4 algarismos de Y.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Combinações e binômio de Newton.

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Ver como caiu na prova Questão 42 no caderno 2º Exame de Qualificação da UERJ 2012

Fonte: UERJ 2012 · 2º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗