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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (1º semestre) do Sírio-Libanês 2027

1º semestre · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

No plano, os pontos B e G estão sobre os lados do trapézio retângulo ADCF de maneira que ABCD é um quadrado de 70\text{ cm}^2 de área e \text{FG} = 9\text{ cm}, como mostra a figura.

Trapézio retângulo ADCF composto pelo quadrado ABCD de área 70 cm² e pelo triângulo BCF à direita. O ponto G está sobre o segmento CF, com segmento BG perpendicular a CF no ponto G. O segmento de G até F mede 9 cm.

A área do triângulo BCF corresponde a:

  1. A
    21\sqrt{3}\text{ cm}^2
  2. B
    24\sqrt{3}\text{ cm}^2
  3. C
    24\sqrt{5}\text{ cm}^2
  4. D
    21\sqrt{5}\text{ cm}^2
  5. E
    27\sqrt{3}\text{ cm}^2
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Resolução comentada

O quadrado tem área 70, então seu lado é BC = \sqrt{70} cm. Como ABCD é quadrado, BC \perp AF, ou seja, o triângulo BCF é retângulo em B. O segmento BG é perpendicular à hipotenusa CF, logo é a altura relativa à hipotenusa.

Nesse triângulo valem as relações métricas: o cateto ao quadrado é igual à hipotenusa vezes a projeção do cateto sobre ela.

  1. Seja CG = x. Então CF = x + 9.
  2. Cateto BC: BC^2 = CG \cdot CF, ou seja, 70 = x(x+9).
  3. Daí x^2 + 9x - 70 = 0, com \Delta = 81 + 280 = 361 e x = \dfrac{-9 + 19}{2} = 5.
  4. Então CF = 14 cm.
  5. Altura: BG^2 = CG \cdot GF = 5 \cdot 9 = 45, logo BG = 3\sqrt{5} cm.

A área do triângulo BCF é

A = \frac{CF \cdot BG}{2} = \frac{14 \cdot 3\sqrt{5}}{2} = 21\sqrt{5}\ \text{cm}^2.

Conferindo pelos catetos: BF^2 = GF \cdot CF = 9 \cdot 14 = 126, e BC \cdot BF/2 = \sqrt{70\cdot126}/2 = \sqrt{8820}/2 = 42\sqrt{5}/2 = 21\sqrt{5}. Confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEnvolve \sqrt{3}, que não aparece em nenhuma relação do problema, pois as contas dão \sqrt{5}.
  • BTambém usa \sqrt{3}, sem base nas relações métricas do triângulo retângulo.
  • CTem o radical certo, mas o coeficiente 24 não vem de CF=14 e BG=3\sqrt{5}.
  • EUsa \sqrt{3} e não decorre de CG=5, GF=9.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: Sírio-Libanês 2027 · 1º semestre · Prova II. Prova oficial ↗