Questão 18 (1º semestre) do Sírio-Libanês 2027

Question

No quadrilátero ACED, a diagonal CD forma ângulo reto com o lado AD, e os pontos B e F estão sobre essa diagonal CD, de maneira que o ângulo \text{D}\hat{\text{B}}\text{E} mede 90^\circ e \text{CF} = 4\text{ cm}, como mostra a figura.

Quadrilátero ACED com a diagonal CD perpendicular a AD em D. O segmento EB é perpendicular a CD em B, e o ponto F está no segmento CB com CF medindo 4 cm. No vértice E, os ângulos CEF, FEB e BED medem, respectivamente, alfa, beta e gama. No vértice A, o ângulo CAD mede gama. Medidas indicadas: ED = 15 cm, DA = 24 cm e AC = 30 cm.

Sabendo que \gamma = \alpha + \beta, o valor da \text{tg } \beta é igual a:

A
\dfrac{4}{5}
B
\dfrac{2}{9}
C
\dfrac{2}{3}
D
\dfrac{5}{12}
E
\dfrac{1}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (1º semestre) do Sírio-Libanês 2027

1º semestre · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

No quadrilátero ACED, a diagonal CD forma ângulo reto com o lado AD, e os pontos B e F estão sobre essa diagonal CD, de maneira que o ângulo \text{D}\hat{\text{B}}\text{E} mede 90^\circ e \text{CF} = 4\text{ cm}, como mostra a figura.

Quadrilátero ACED com a diagonal CD perpendicular a AD em D. O segmento EB é perpendicular a CD em B, e o ponto F está no segmento CB com CF medindo 4 cm. No vértice E, os ângulos CEF, FEB e BED medem, respectivamente, alfa, beta e gama. No vértice A, o ângulo CAD mede gama. Medidas indicadas: ED = 15 cm, DA = 24 cm e AC = 30 cm.

Sabendo que \gamma = \alpha + \beta, o valor da \text{tg } \beta é igual a:

A
\dfrac{4}{5}
B
\dfrac{2}{9}
C
\dfrac{2}{3}
D
\dfrac{5}{12}
E
\dfrac{1}{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Para achar \text{tg }\beta basta conhecer FB e EB, pois \beta é o ângulo em E do triângulo retângulo FEB.

Triângulo ADC (reto em D): AD=24 e AC=30, hipotenusa. Por Pitágoras:

CD=\sqrt{30^2-24^2}=\sqrt{324}=18\ \text{cm}

O ângulo \gamma está em A, então \sen\gamma=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5} e \cos\gamma=\dfrac{4}{5}.

Triângulo EBD (reto em B): ED=15 é a hipotenusa e o ângulo em E vale \gamma. Logo:

BD=15\cdot\sen\gamma=15\cdot\dfrac{3}{5}=9\ \text{cm}
EB=15\cdot\cos\gamma=15\cdot\dfrac{4}{5}=12\ \text{cm}

Posição de F: CB=CD-BD=18-9=9 cm. Como CF=4, temos FB=9-4=5 cm.

Triângulo FEB (reto em B):

\tg\beta=\frac{FB}{EB}=\frac{5}{12}

Conferência: \tg(\alpha+\beta)=\dfrac{CB}{EB}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}=\tg\gamma, o que confirma a condição \gamma=\alpha+\beta.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com os lados; não corresponde a FB/EB.
BUsa CF/EB incorreto ou mistura os segmentos; o cateto oposto a β é FB = 5, não 4.
CResulta de razões como 8/12, sem justificativa geométrica; ignora FB = 5.
EValor incompatível com FB = 5 e EB = 12.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 18 no caderno Prova II do Sírio-Libanês 2027

Fonte: Sírio-Libanês 2027 · 1º semestre · Prova II. Prova oficial ↗