Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2025

Question

Jairo tem muitas cordas com 2 metros cada uma. Quando ele amarra duas dessas cordas, ele obtém uma nova corda com 3 metros e 70 centímetros.

Ilustração mostrando duas cordas separadas, cada uma indicada com comprimento de 2 m, e abaixo delas as duas cordas amarradas por um nó central, resultando em uma corda com comprimento total indicado de 3,7 m.

Se ele quiser uma corda com exatamente 20 metros, ele precisará cortar um pedaço da última corda amarrada.

Qual é o tamanho, em metros, desse pedaço?

A
0{,}95
B
0{,}70
C
0{,}45
D
0{,}30
E
0{,}15

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Progressão aritmética

Jairo tem muitas cordas com 2 metros cada uma. Quando ele amarra duas dessas cordas, ele obtém uma nova corda com 3 metros e 70 centímetros.

Ilustração mostrando duas cordas separadas, cada uma indicada com comprimento de 2 m, e abaixo delas as duas cordas amarradas por um nó central, resultando em uma corda com comprimento total indicado de 3,7 m.

Se ele quiser uma corda com exatamente 20 metros, ele precisará cortar um pedaço da última corda amarrada.

Qual é o tamanho, em metros, desse pedaço?

A
0{,}95
B
0{,}70
C
0{,}45
D
0{,}30
E
0{,}15

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos supor que, para fazer o nó, foram usados pedaços de mesmo comprimento nas extremidades das cordas. Feito o nó, uma vez que a figura nos indica que o comprimento das cordas atadas é 3{,}70\text{ m}, restaram 1{,}85\text{ m} de corda de cada lado do nó.

Portanto, para cada nó foram utilizados 0{,}15\text{ cm} de cada uma das cordas.

[Figura: Esquema ilustrando três pedaços de corda de 2\text{ m} cada, sendo amarrados sucessivamente por nós. Abaixo, a representação da corda contínua com dois nós, indicando uma distância de 1{,}85\text{ m} da ponta esquerda até o primeiro nó, 1{,}70\text{ m} entre o primeiro e o segundo nó, e um comprimento acumulado de 3{,}7\text{ m} da ponta esquerda até o segundo nó.]

Para fazer o nó entre o segundo e o terceiro pedaço de corda será usado o pedaço final de 0{,}15\text{ cm} da segunda corda e o pedaço de mesmo comprimento no início da terceira corda. Dessa forma, o comprimento de corda entre dois nós sucessivos será de 1{,}85 - 0{,}15 = 1{,}70\text{ m}.

Se atarmos cordas de forma a ter n intervalos entre nós sucessivos, podemos escrever a expressão para o comprimento total da corda:

1{,}85 + n \cdot 1{,}70 + 1{,}85 = 3{,}70 + n \cdot 1{,}70.

Observamos que se n = 10, o comprimento total da corda será 3{,}70 + 17{,}00 = 20{,}70.

Portanto, para termos uma corda com 20\text{ m}, devemos cortar 0{,}70\text{ m} no final da última corda amarrada.

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Resolução comentada

Cada nó "gasta" um pedaço de corda. Duas cordas somam 2+2=4 m, mas a corda amarrada tem 3{,}7 m. Então cada nó consome:

4-3{,}7=0{,}3\ \text{m}

Com n cordas há n-1 nós, então o comprimento total é:

2n-0{,}3(n-1)=1{,}7n+0{,}3

Agora vamos ver quantas cordas são necessárias para chegar perto de 20 m:

Com n=11: 1{,}7\cdot 11+0{,}3=18{,}7+0{,}3=19 m. Ainda é pouco.
Com n=12: 1{,}7\cdot 12+0{,}3=20{,}4+0{,}3=20{,}7 m. Passou de 20 m.

Portanto, usamos 12 cordas amarradas, que dão 20{,}7 m, e cortamos o excedente da última corda:

20{,}7-20=0{,}7\ \text{m}

Conferindo: o corte de 0{,}7 m é menor que os 2 m da última corda, então é possível. Mesmo cortando esse pedaço, o nó continua dentro dos 20 m.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem base na conta; não corresponde ao excedente de 20,7 m sobre 20 m.
CNão corresponde ao excedente; resulta de erro no desconto dos nós.
DÉ a perda de um nó (0,3 m), não o pedaço a cortar.
EResulta de contar nós a mais ou a menos no total, errando o comprimento final.

Assuntos: Progressão aritmética, Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 9 no caderno Nível 3 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗