Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2025

Resolução comentada

Seja \alpha a medida comum dos três ângulos e L o lado do quadrado.

O ponto F está em CD, então E\hat{F}D + G\hat{F}C não completa 180°: falta o ângulo E\hat{F}G. Vamos usar os triângulos retângulos.

1. No triângulo retângulo EDF (reto em D), \cos\alpha = DF/EF e \sen\alpha = DE/3. Logo DF = 3\cos\alpha.

2. No triângulo retângulo FCG', onde G' é o pé da perpendicular de G sobre CD, temos o ângulo G\hat{F}C=\alpha e hipotenusa FG=5. Então a altura é L = 5\sen\alpha e FG' = FC = 5\cos\alpha na horizontal.

3. No triângulo GBH (reto em B), o ângulo em G é \alpha e GH=2. Então GB = 2\cos\alpha.

4. A base AB tem comprimento L. Projetando horizontalmente a poligonal D\to F\to G\to B: DF + (\text{deslocamento horizontal de F a G}) + GB = L.

Como G\hat{F}C=\alpha, o segmento FG desce inclinado para a direita, e o deslocamento horizontal de F a G é 5\cos\alpha. Assim:

5. Da altura: L = 5\sen\alpha. Então 10\cos\alpha = 5\sen\alpha, logo \tg\alpha = 2.

6. Com \tg\alpha=2: \cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt5}, então L = \dfrac{10}{\sqrt5} = 2\sqrt5.

7. Área: L^2 = 20.

Conferindo: 5\sen\alpha = 5\cdot\dfrac{2}{\sqrt5}=2\sqrt5, coerente.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AResulta de erro na relação entre \sen\alpha e \cos\alpha ao calcular o lado, não corresponde a L^2=20.
• BNão decorre de \tg\alpha=2; valor sem justificativa pelas projeções.
• DNão satisfaz L=10\cos\alpha=5\sen\alpha; valor sem base na figura.
• ECorresponderia a lado 5, o que exigiria \sen\alpha=1, impossível.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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