Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2025

Question

Emiliano fez uma lista de números inteiros em ordem crescente, começando com 0 e terminando em 2025, utilizando apenas os algarismos 0, 2 e 5:

0, 2, 5, 20, 22, 25, 50, ... , 2025.

Quantos números Emiliano escreveu?

A
33
B
34
C
35
D
36
E
37

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Emiliano fez uma lista de números inteiros em ordem crescente, começando com 0 e terminando em 2025, utilizando apenas os algarismos 0, 2 e 5:

0, 2, 5, 20, 22, 25, 50, ... , 2025.

Quantos números Emiliano escreveu?

A
33
B
34
C
35
D
36
E
37

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Além do zero, Emiliano pode formar números com 1, 2, 3 ou 4 algarismos:

Com 1 algarismo, há dois números (2 ou 5).

Com 2 algarismos, o primeiro pode ser 2 ou 5 e o segundo pode ser 0, 2 ou 5. Temos, portanto, 2 \times 3 = 6 números.

Com 3 algarismos, o primeiro pode ser 2 ou 5 e os demais podem ser 0, 2 ou 5. Temos, portanto, 2 \times 3 \times 3 = 18 números.

Com 4 algarismos, o primeiro algarismo tem que ser 2 e o segundo 0. Os números que Emiliano escreveu são 2000, 2002, 2005, 2020, 2022 e 2025 (6 números).

Portanto, além do zero, ele escreveu 2 + 6 + 18 + 6 = 32 números. No total, listou 33 números.

0, 2, 5, 20, 22, 25, 50, 52, 55, 200, 202, 205, 220, 222, 225, 250, 252, 255, 500, 502, 505, 520, 522, 525, 550, 552, 555, 2000, 2002, 2005, 2020, 2022, 2025.

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Resolução comentada

Vamos contar os inteiros de 0 a 2025 escritos só com os algarismos 0, 2 e 5, separando pela quantidade de algarismos.

1 algarismo: 0, 2, 5, ou seja, 3 números.
2 algarismos: o primeiro não pode ser 0, então são 2 opções (2 ou 5); o segundo tem 3 opções. Total: 2\cdot 3 = 6.
3 algarismos: 2\cdot 3\cdot 3 = 18.
4 algarismos, até 2025: o primeiro algarismo é 2 (o 5 passaria de 2025). O segundo tem de ser 0, porque 22xx e 25xx são maiores que 2025. Então os números têm a forma 20ab, com a e b em {0, 2, 5}.
- Se a=0: 2000, 2002, 2005 (3 números), todos menores que 2025.
- Se a=2: 2020, 2022, 2025 (3 números), todos até 2025.
- Se a=5: 2050 já passa de 2025, então nenhum.
  Total: 6 números.

Somando:

3+6+18+6 = 33

Emiliano escreveu 33 números.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BConta um número a mais, por exemplo incluindo um número acima de 2025 ou contando errado os de 4 algarismos.
CSoma indevidamente mais números de 4 algarismos, como 2050 e 2052, que ultrapassam 2025.
DPermite o 0 como primeiro algarismo ou erra a contagem dos casos, passando do total correto.
ESuperestima os números de 4 algarismos, ignorando o limite de 2025.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 7 no caderno Nível 2 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗