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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Maria coloca inicialmente o número 1 nos nove quadradinhos de um quadriculado 3 \times 3, como na Figura 1. Depois, ela escolhe quatro quadradinhos com um mesmo vértice comum e multiplica os quatro números desses quadradinhos por um mesmo valor. Após fazer isso algumas vezes, os números no quadriculado ficaram como na Figura 2.

1 1 1
1 1 1
1 1 1

Figura 1

3
15 2025
x

Figura 2

Qual é o valor de x?

  1. A
    75
  2. B
    9
  3. C
    135
  4. D
    25
  5. E
    45
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Resolução comentada

Resolução comentada

Quatro quadradinhos com um vértice comum formam um bloco 2\times 2. Há quatro blocos possíveis: superior esquerdo, superior direito, inferior esquerdo e inferior direito. Sejam p, q, r, s os produtos de todos os valores usados em cada um deles, nessa ordem.

Cada quadradinho recebe o produto dos blocos que o contêm:

  • cada canto está em um só bloco. Então o canto superior direito vale q e o inferior direito, que é x, vale s;
  • cada quadradinho do meio de um lado está em dois blocos. O do meio da esquerda vale p\cdot r;
  • o quadradinho central está nos quatro blocos e vale pqrs.

Dados da Figura 2:

  1. Canto superior direito: q=3.
  2. Meio da esquerda: pr=15.
  3. Centro: pqrs=2025.

Agrupando o centro:

pqrs=(pr)\cdot q\cdot s=15\cdot 3\cdot s=45s

Logo 45s=2025, ou seja, s=45.

Como x=s, temos x=45.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão decorre de nenhuma relação entre os blocos; 75 não satisfaz 45x=2025.
  • BNão satisfaz 45x=2025; 9 viria de uma divisão incorreta, como 2025\div 225.
  • CÉ 3\cdot 45; confunde x com o produto q\cdot s, que é o valor do meio da direita.
  • DNão satisfaz 45x=2025; ignora o fator q=3 ao dividir 2025 por 15 e por outro valor.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Fonte: OBMEP 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗