Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2025

Resolução comentada

Pense no cubo como coordenadas: cada vértice é uma trinca de 0 e 1, e andar por uma aresta muda exatamente uma coordenada (de 0 para 1 ou de 1 para 0).

A formiga sai de A = (0,0,0) e anda 3 arestas consecutivas. A questão não proíbe voltar por uma aresta já usada, então ela pode ir e voltar.

1. Cada passo troca uma coordenada, então a cada passo a paridade da soma das coordenadas muda.
2. Depois de 3 passos, a paridade é ímpar: a soma das coordenadas é 1 ou 3.
3. Vértices com soma 1: os três vizinhos de A, que são B, D e E.
4. Vértices com soma 3: o vértice oposto a A, que é G.
5. Vértices com soma 2 (C, F, H) ficam a 2 passos e não podem ser alcançados em 3.

Verificação dos alcançáveis:

• G: A→B→C→G, em 3 passos.
• B: A→B→A→B, em 3 passos. D e E funcionam do mesmo modo.

Logo os vértices possíveis são B, D, E e G, ou seja, 4 vértices.

Alternativa C.

Pegadinha: Quem acha que a formiga só avança e não pode voltar conta apenas G e esquece B, D e E, ou conta só os vértices "novos" e erra o total.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta poucos vértices; ignora que a formiga pode voltar por uma aresta e chegar a B, D ou E.
• BConsidera só os vizinhos de A (B, D, E) e esquece o vértice oposto G.
• DInclui um vértice a distância 2 de A (C, F ou H), impossível em 3 passos por causa da paridade.
• EInclui os três vértices a distância 2 (C, F, H) junto com os outros, o que a paridade não permite.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.