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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Darlene colou 36 adesivos redondos e pretos, de três tamanhos diferentes (pequenos, médios e grandes), nos centros dos quadradinhos de um quadriculado 6 \times 6 desenhado em um papel transparente. Depois de colar, Darlene dobrou o papel duas vezes sobrepondo exatamente as partes dobradas. A figura mostra como ficou o papel dobrado. Qual é o maior número de adesivos de tamanho médio que Darlene pode ter colado?

Quadriculado 3 por 3 com linhas divisórias internas tracejadas e borda externa contínua. No centro de cada um dos 9 quadradinhos há um círculo preto: na primeira linha (de cima para baixo), da esquerda para a direita, há um círculo pequeno, um médio e um grande; na segunda linha, há um círculo médio, um grande e um pequeno; na terceira linha, há um círculo grande, um pequeno e um médio.

  1. A
    3
  2. B
    8
  3. C
    16
  4. D
    21
  5. E
    30
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Ao dobrar um quadriculado 6\times 6 duas vezes (uma ao meio em cada direção), ele vira um quadriculado 3\times 3. Cada quadradinho do papel dobrado contém 4 quadradinhos sobrepostos do papel original, e o que vemos é o conjunto dos adesivos empilhados em cada posição.

Como o papel é transparente, o que aparece em cada quadradinho é o maior adesivo entre os 4 empilhados. Os adesivos menores ficam escondidos atrás do maior, ou do mesmo tamanho dele.

Assim, em cada posição da figura:

  1. Se aparece um adesivo grande, os 4 empilhados podem ser de qualquer tamanho, desde que haja pelo menos um grande. Então no máximo 3 deles são médios.
  2. Se aparece um adesivo médio, não há nenhum grande entre os 4. Então todos os 4 podem ser médios.
  3. Se aparece um adesivo pequeno, todos os 4 são pequenos, e nenhum é médio.

Na figura há 3 quadradinhos com adesivo grande, 3 com médio e 3 com pequeno.

Contagem máxima de médios:

  • Grandes: 3\times 3 = 9
  • Médios: 3\times 4 = 12
  • Pequenos: 3\times 0 = 0

Total: 9+12+0=21.

Esse valor é possível: nas posições com grande, colocamos 1 grande e 3 médios.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem coloca 4 médios também sob os adesivos grandes ou sob os pequenos; sob o grande só cabem 3 médios e sob o pequeno nenhum.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta só um médio por posição com adesivo médio visível, ou só os 3 visíveis, ignorando os escondidos.
  • BNão considera que atrás de um adesivo visível podem estar outros do mesmo tamanho ou menores, contando muito poucos médios.
  • CConta apenas as posições com médio (4 cada) mais poucas outras, como se pudesse haver 4 médios só em 4 posições, ou subestima os escondidos atrás dos grandes.
  • ESupõe 4 médios também atrás dos grandes (ou 3 por posição em 10 posições), esquecendo que deve haver ao menos um grande, e que atrás de pequenos só há pequenos.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Fonte: OBMEP 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗