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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Darlene colou 36 adesivos redondos e pretos, de três tamanhos diferentes (pequenos, médios e grandes), nos centros dos quadradinhos de um quadriculado 6 \times 6 desenhado em um papel transparente. Depois de colar, Darlene dobrou o papel duas vezes sobrepondo exatamente as partes dobradas. A figura mostra como ficou o papel dobrado. Qual é o maior número de adesivos de tamanho médio que Darlene pode ter colado?

Grade 3 por 3 com círculos pretos de três tamanhos diferentes em cada casa

  1. A
    8
  2. B
    30
  3. C
    16
  4. D
    21
  5. E
    3
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Ao dobrar o quadriculado 6\times 6 duas vezes (uma ao meio na vertical e outra ao meio na horizontal), cada quadradinho do papel dobrado 3\times 3 cobre 4 quadradinhos do original. Como o papel é transparente, o que vemos em cada casa é a sobreposição desses 4 adesivos. Se aparece apenas um círculo, é porque os 4 adesivos têm o mesmo tamanho (senão veríamos o menor dentro do maior, de modo que o que enxergamos seria o maior, mas o menor ficaria escondido).

O ponto central: na sobreposição, o maior círculo esconde os menores. Então o que vemos é o tamanho máximo entre os 4 adesivos daquela casa. Assim, em cada casa, os 4 adesivos podem ser menores ou iguais ao tamanho mostrado, e pelo menos um deve ter exatamente esse tamanho.

Contando as casas na figura:

  • pequenos: 3 casas (linha 1 coluna 1, linha 2 coluna 3, linha 3 coluna 2);
  • médios: 3 casas (linha 1 coluna 2, linha 2 coluna 1, linha 3 coluna 3);
  • grandes: 3 casas (linha 1 coluna 3, linha 2 coluna 2, linha 3 coluna 1).

Para maximizar os médios:

  1. Nas casas médias, os 4 adesivos podem ser todos médios: 3\times 4=12.
  2. Nas casas grandes, basta 1 adesivo grande e os outros 3 podem ser médios: 3\times 3=9.
  3. Nas casas pequenas, ninguém pode ser maior que pequeno, então não há médios: 0.

Total: 12+9+0=21.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem coloca médios também nas casas pequenas; o maior adesivo da sobreposição é o que aparece, então ali só cabem pequenos.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só uma parte das casas, sem aproveitar os 4 adesivos de cada casa.
  • BConta médios também nas casas de adesivo pequeno, o que é impossível, pois o médio apareceria por cima.
  • CEsquece que nas casas grandes 3 dos 4 adesivos podem ser médios.
  • EConta apenas as casas médias da figura, ignorando que cada casa esconde 4 adesivos.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Vistas, projeções e planificações.

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Fonte: OBMEP 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗