Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2025

Resolução comentada

Queremos k tal que \frac{2026-k}{2025-k}=\frac{2025}{2026}.

Primeiro, a ideia: subtrair o mesmo número de numerador e denominador mantém a diferença entre eles, que aqui é 2026-2025=1. Logo a nova fração tem a forma \frac{n+1}{n} com numerador maior que o denominador, em que n=2025-k. Mas \frac{2025}{2026} tem numerador menor, então o denominador novo deve ficar maior que o numerador, e isso exige números negativos. Vamos resolver com a conta.

1. Multiplicando em cruz: 2026(2026-k)=2025(2025-k).
2. Desenvolvendo: 2026^2-2026k=2025^2-2025k.
3. Passando os termos: 2026^2-2025^2=2026k-2025k=k.
4. Diferença de quadrados: k=(2026-2025)(2026+2025)=4051.

Verificação: \frac{2026-4051}{2025-4051}=\frac{-2025}{-2026}=\frac{2025}{2026}. Correto.

Soma dos algarismos de 4051: 4+0+5+1=10.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASoma errada dos algarismos; 9 não corresponde a 4051 (4+0+5+1=10).
• CNão corresponde a nenhum valor de k obtido corretamente; resulta de erro de conta.
• DValor sem relação com k=4051; provável erro ao resolver a equação.
• EValor sem relação com k=4051; provável erro ao resolver a equação.

Assuntos: Equações do 1º grau e problemas, Frações, decimais e operações básicas.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.