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Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Marcela escreveu os números de 1 a 8, um em cada círculo da figura, de modo que em círculos conectados por um segmento não apareçam números consecutivos. Quais números ela escreveu nos dois círculos destacados em cinza?

Diagrama formado por oito círculos conectados por segmentos de reta. Há seis círculos brancos dispostos em duas colunas verticais centrais de três círculos cada (topo, meio e base), e dois círculos cinzas nas extremidades esquerda e direita, alinhados com a linha do meio. O círculo cinza da esquerda está conectado aos três círculos brancos da coluna da esquerda. O círculo cinza da direita está conectado aos três círculos brancos da coluna da direita. Na parte superior, os quatro círculos brancos do topo e do meio estão todos conectados entre si (formando um quadrado com suas duas diagonais). Da mesma forma, na parte inferior, os quatro círculos brancos do meio e da base estão todos conectados entre si (formando outro quadrado com suas duas diagonais).

  1. A
    2 e 7
  2. B
    1 e 8
  3. C
    2 e 6
  4. D
    3 e 6
  5. E
    4 e 5
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Observe os dois círculos do meio, um em cada coluna. Cada um está ligado a todos os outros círculos, exceto ao cinza do lado oposto. Por exemplo, o do meio à esquerda liga-se aos dois círculos da sua coluna, aos três da coluna da direita e ao cinza da esquerda. Só não se liga ao cinza da direita.

Assim, o número escrito em cada círculo do meio só pode ter como consecutivo o número do cinza do lado oposto. Todos os outros números já estão em círculos ligados a ele.

Um número tem um único consecutivo apenas se for 1 (consecutivo 2) ou 8 (consecutivo 7). Os demais têm dois consecutivos, o que seria impossível aqui.

Logo os dois círculos do meio contêm 1 e 8. Digamos que o da esquerda tenha 1. O seu consecutivo 2 deve estar no cinza da direita. O da direita tem 8, e o seu consecutivo 7 fica no cinza da esquerda.

Isso pode ser completado: restam 3,4,5,6 nos quatro círculos de cima e de baixo. O 3 vai para a coluna esquerda, longe do 2, e o 6 para a coluna direita, longe do 7. Os outros dois (4 e 5) vão um em cada coluna, e as ligações entre colunas não os colocam juntos. A configuração é válida.

Os números nos círculos cinzas são 2 e 7.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • B1 e 8 ficam nos círculos do meio, que têm só um consecutivo cada, e não nos cinzas.
  • C2 e 6 não funcionam: o 7 ficaria em um círculo ligado ao 6 ou ao 8.
  • D3 e 6 deixariam 1 e 8 sem um cinza consecutivo, o que viola a condição.
  • E4 e 5 são consecutivos, mas estão em cinzas que não se ligam, e os do meio ficariam com consecutivos adjacentes.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Fonte: OBMEP 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗