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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Uma folha retangular de papel, de perímetro igual a 50\text{ cm}, foi dobrada ao meio de duas maneiras diferentes, como mostra a figura. Em uma delas, o perímetro da folha dobrada é 35\text{ cm}. Qual é o perímetro da folha dobrada da outra maneira?

Ilustração mostrando uma folha de papel retangular à esquerda, da qual partem duas setas indicando duas maneiras diferentes de dobrá-la ao meio. Na sequência superior, a folha é dobrada ao longo de uma linha tracejada vertical no centro, resultando em um retângulo mais estreito e alto. Na sequência inferior, a folha é dobrada ao longo de uma linha tracejada horizontal no centro, resultando em um retângulo mais comprido e baixo.

  1. A
    20\text{ cm}
  2. B
    40\text{ cm}
  3. C
    30\text{ cm}
  4. D
    25\text{ cm}
  5. E
    45\text{ cm}
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Chame os lados da folha de a (horizontal, o maior) e b (vertical). O perímetro original é 2(a+b)=50, então a+b=25.

Dobrando ao meio, um dos lados cai pela metade e o outro fica igual.

Dobra vertical (a largura a vira \frac{a}{2}): o retângulo fica \frac{a}{2}\times b, com perímetro

2\left(\frac{a}{2}+b\right)=a+2b.

Dobra horizontal (a altura b vira \frac{b}{2}): o retângulo fica a\times\frac{b}{2}, com perímetro

2\left(a+\frac{b}{2}\right)=2a+b.

Uma das dobras dá 35\ \text{cm}. Vale o seguinte:

  1. Se a+2b=35, usando a+b=25 obtemos b=10 e a=15. A outra dobra dá 2a+b=30+10=40.
  2. Se 2a+b=35, obtemos a=10 e b=15. A outra dobra dá a+2b=10+30=40.

Nos dois casos o resultado é o mesmo. Há um atalho: somando os dois perímetros dobrados, (a+2b)+(2a+b)=3(a+b)=75. Logo, o outro perímetro é 75-35=40\ \text{cm}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma das dobras; o perímetro dobrado nunca é menor que a metade do original somada a um lado.
  • CResulta de supor que os dois perímetros dobrados são iguais, ou de erro de conta em 2a+b com a e b trocados.
  • DÉ a soma a+b, o semiperímetro original, e não o perímetro da folha dobrada.
  • ESoma 10 ao valor dado em vez de usar 3(a+b)-35.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Equações do 1º grau e problemas.

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Fonte: OBMEP 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗