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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2025

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

A cor de cada número de um relógio alterna de preto para branco ou de branco para preto, cada vez que qualquer um dos ponteiros aponta para a marca da hora que esse número representa no relógio. À meia-noite todos os números ficam pretos e, depois, a alternância de cores começa. Na figura, vemos as cores dos números do relógio em alguns horários.

Três relógios analógicos mostrando horários diferentes: o primeiro marca 0h 00min (meia-noite) com todos os números de 1 a 12 na cor preta; o segundo marca 0h 30min com os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 em branco e 7, 8, 9, 10, 11 e 12 em preto; o terceiro marca 1h 40min com os números 9, 10, 11, 12 e 1 em branco e 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 em preto.

Como estarão as cores dos números às 3h 30min?

  1. A
    Relógio marcando 3h 30min com os números 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 2 e 3 em branco, e os números 4, 5 e 6 em preto.
  2. B
    Relógio marcando 3h 30min com os números 3, 4, 5 e 6 em branco, e os números 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1 e 2 em preto.
  3. C
    Relógio marcando 3h 30min com os números 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1 e 3 em branco, e os números 2, 4, 5 e 6 em preto.
  4. D
    Relógio marcando 3h 30min com os números 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 3 em branco, e os números 1, 2, 4, 5 e 6 em preto.
  5. E
    Relógio marcando 3h 30min com os números 1, 2, 4, 5 e 6 em branco, e os números 3, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 em preto.
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Resolução comentada

Resolução comentada

Cada número troca de cor toda vez que um ponteiro (das horas ou dos minutos) passa por ele. Então basta contar quantas passagens cada número teve entre 0h00 e 3h30: número par de passagens deixa preto, ímpar deixa branco.

Ponteiro dos minutos (volta completa por hora): em 3h30 ele passou por todos os números de 1 a 12 nas 3 primeiras horas (3 vezes cada). Depois, de 3h00 a 3h30, passou por 12, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Contando só a meia-noite como ponto de partida, cada número recebe 3 passagens nas 3 voltas completas, e mais 1 passagem para 1, 2, 3, 4, 5 e 6 na última meia hora. O 12 recebe passagens às 1h, 2h e 3h (3 passagens).

Ponteiro das horas: vai de 12 até o 3, passando pelo 1, pelo 2 e pelo 3 (às 1h, 2h e 3h), uma vez cada. Às 3h30 ele está entre 3 e 4, sem ter chegado ao 4.

Total de passagens:

  1. Números 1 e 2: minutos 3+1 = 4, horas 1, total 5 (ímpar): branco.
  2. Número 3: minutos 4, horas 1, total 5: branco.
  3. Números 4, 5 e 6: minutos 3+1 = 4, horas 0, total 4: preto.
  4. Números 7 a 11: minutos 3, horas 0, total 3: branco.
  5. Número 12: minutos 3 (às 1h, 2h, 3h), horas 0, total 3: branco.

Os números 1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 ficam brancos, e os números 4, 5 e 6 ficam pretos. Isso corresponde à figura em que 7 a 12, 1, 2 e 3 estão brancos.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BInverte as cores, deixando brancos só 3, 4, 5 e 6 e pretos os demais.
  • CDeixa o 2 preto e o 3 branco, esquecendo que o 2 também recebeu uma passagem do ponteiro das horas.
  • DDeixa 1 e 2 pretos, ignorando as passagens do ponteiro das horas por 1 e 2.
  • EInverte quase todas as cores, deixando 1, 2, 4, 5 e 6 brancos e 3 preto.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Fonte: OBMEP 2025 · Nível 1. Prova oficial ↗