Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2025

Resolução comentada

Chame as casas de \begin{pmatrix} 3 & 7 & a\\ 4 & e & 2\\ b & 1 & c\end{pmatrix}, em que a, b e c são as casas sombreadas e e é a casa central branca.

Os quatro subtabuleiros 2\times 2 devem ter a mesma soma S:

1. Superior esquerdo: 3+7+4+e = 14+e
2. Superior direito: 7+a+e+2 = 9+a+e
3. Inferior esquerdo: 4+e+b+1 = 5+e+b
4. Inferior direito: e+2+1+c = 3+e+c

Igualando cada soma à primeira (o e aparece em todas e se cancela):

• 9+a = 14 \Rightarrow a = 5
• 5+b = 14 \Rightarrow b = 9
• 3+c = 14 \Rightarrow c = 11

O valor de e não é determinado, mas não é pedido, pois a casa central é branca.

Soma das casas sombreadas:

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AResulta de erro de conta em alguma das casas sombreadas, por exemplo ao esquecer parte das parcelas de um subtabuleiro.
• BTambém vem de erro aritmético ao calcular a, b ou c; os valores corretos são 5, 9 e 11.
• DSoma 26 não corresponde a 5+9+11; provável erro de uma unidade em alguma casa.
• EValor alto demais, resultado de somar parcelas indevidas, como incluir o 3 ou o 2 na conta.

Assunto: Sistemas lineares.

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