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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2025

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Um prêmio foi dado a uma de cinco pessoas, dispostas em fila. Cada uma delas disse uma das seguintes frases:

• “Eu não ganhei o prêmio”;
• “Quem ganhou o prêmio está na minha frente ou atrás de mim”.

Somente uma delas disse a verdade. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

  1. A
    A terceira pessoa ganhou o prêmio.
  2. B
    É possível que três pessoas tenham dito “Eu não ganhei o prêmio”.
  3. C
    A pessoa que ganhou o prêmio foi a segunda ou a quarta.
  4. D
    A pessoa que ganhou o prêmio foi a primeira ou a quinta.
  5. E
    Qualquer pessoa pode ter ganho o prêmio.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

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Chame de G o ganhador. Cada pessoa disse uma de duas frases, e só uma disse a verdade. Vamos ver quando cada frase é verdadeira.

  1. Frase 1, "Eu não ganhei": é verdadeira se quem fala não é G, e falsa se é G.
  2. Frase 2, "G está na minha frente ou atrás de mim": é verdadeira se quem fala não é G, pois G está em outra posição, e falsa se quem fala é G.

As duas frases têm o mesmo valor lógico: ambas são verdadeiras para quem não ganhou e falsas para quem ganhou. Então cada um dos 4 que não ganharam diz uma verdade, seja qual for a frase escolhida, e o ganhador diz uma mentira.

Pelas regras, haveria 4 verdades e 1 mentira. O enunciado exige só 1 verdade. Isso só é possível se o número de verdadeiros for 1, mas aqui são 4, ou seja, a situação é contraditória.

Precisamos reler: "Quem ganhou está na minha frente ou atrás de mim" pode ser entendida como dita por uma pessoa em relação à fila. Para o ganhador G, ele não está nem na frente nem atrás dele mesmo, então é falsa. Para as outras pessoas, G está na frente ou atrás, então é verdadeira. Logo, a análise acima se mantém.

A leitura que dá sentido ao problema é: "na minha frente ou atrás" significando imediatamente (vizinho). Então a frase 2 é verdadeira só para os vizinhos de G.

Se G está no meio (2ª, 3ª ou 4ª), ele tem dois vizinhos, e tudo que eles disserem na frase 2 pode ser verdade. Mas quem disse a frase 1 e não é G também diz a verdade. Para ter só uma verdade, os 4 não ganhadores precisam dizer frase 2, e só um pode ser vizinho de G. Isso exige G com exatamente um vizinho, isto é, G na 1ª ou na 5ª posição.

Assim, o ganhador foi o primeiro ou o quinto.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AG na posição 3 tem dois vizinhos, o que daria duas verdades na frase 2.
  • BTrês pessoas dizendo "Eu não ganhei" seriam três verdades, mas só há uma.
  • CG na 2ª ou 4ª posição tem dois vizinhos, o que gera duas verdades.
  • ESó as pontas da fila deixam exatamente um vizinho; as demais posições dão mais de uma verdade.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Nível 1 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 1. Prova oficial ↗