Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2025

Resolução comentada

Como o número deve ter exatamente três algarismos diferentes de zero, e os três precisam ser distintos (ordem estritamente crescente ou decrescente), os números considerados têm três algarismos, todos de 1 a 9. Há \binom{9}{3}=84 números crescentes e 84 decrescentes. Cada decrescente é o crescente escrito de trás para frente.

Seja abc um crescente, com a<b<c. O decrescente correspondente é cba. A soma dos dois é:

1. Cada dígito de 1 a 9 aparece em \binom{8}{2}=28 dos 84 crescentes. Então a soma de todos os dígitos usados nos crescentes é 28\cdot 45=1260.
2. Para o dígito do meio b, há (b-1) escolhas para a e (9-b) para c. Logo \sum b = \sum_{b=2}^{8} b(b-1)(9-b)=14+36+60+80+90+84+56=420.
3. Assim \sum(a+c)=1260-420=840.
4. Soma total: 101\cdot 840+20\cdot 420=84840+8400=93240.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor próximo, mas não sai de nenhuma contagem correta dos 168 números; indica erro de conta na soma.
• CErro de conta na soma dos dígitos das posições; o total correto é 93240.
• DSubestima a soma, provavelmente por erro no cálculo da soma dos dígitos centrais.
• ESuperestima a soma, por erro de contagem na soma dos dígitos.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Princípio fundamental da contagem.

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