Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2025

Resolução comentada

Cada passo por uma aresta muda uma das três coordenadas do vértice: largura, profundidade ou altura. Podemos dar a A a coordenada (0,0,0), e cada vértice do cubo fica com coordenadas 0 ou 1.

Cada passo troca um dos valores, de 0 para 1 ou de 1 para 0. Isso muda a paridade da soma das coordenadas. Depois de 3 passos (número ímpar), a soma tem paridade diferente da de A, que tem soma 0 (par). Logo, a formiga só pode estar em vértices com soma ímpar, isto é, com 1 ou 3 coordenadas iguais a 1.

Esses vértices são:

1. Soma 1: os três vizinhos de A, que são B, D e E.
2. Soma 3: o vértice oposto a A, que é G.

Total: 4 vértices.

Todos são alcançáveis em 3 arestas consecutivas:

• G: A→B→C→G.
• B: A→B→A→B, voltando por uma aresta já percorrida. Se isso não for permitido, A→D→C→B também chega a B.
• D e E: por simetria, do mesmo modo que B.

Os outros vértices (C, F, H) estão a distância 2 de A, e por paridade não podem ser atingidos com 3 passos. Assim, a formiguinha pode ter chegado a 4 vértices diferentes.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem conta só os vizinhos de A e esquece G, o vértice oposto, também alcançável em 3 passos.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta apenas 2 vértices, ignorando que B, D e E são todos alcançáveis em 3 passos.
• BConta só os três vizinhos de A (B, D, E) e esquece o vértice oposto G.
• DInclui um vértice de paridade errada (C, F ou H), que exigiria um número par de passos.
• EConta todos os vértices exceto A, sem considerar a paridade do número de passos.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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