Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2025

Question

No mínimo, quantos dos dez fatores da multiplicação 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 9 \times 10 devem ser eliminados para que o resultado seja o quadrado de um número inteiro?

A
nenhum
B
1
C
2
D
3
E
4

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2025

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

No mínimo, quantos dos dez fatores da multiplicação 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 9 \times 10 devem ser eliminados para que o resultado seja o quadrado de um número inteiro?

A
nenhum
B
1
C
2
D
3
E
4

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O quadrado de um número inteiro a é o número a^2. Dada a expressão 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 , podemos decompor os fatores compostos em seus fatores primos, de modo que

1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 = 2 \times 3 \times (2 \times 2) \times 5 \times (2 \times 3) \times 7 \times (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (2 \times 5)

Vemos que há oito fatores 2, quatro fatores 3, dois fatores 5 e um único fator 7.

Assim, podemos reescrever o produto acima como

2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 3^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7

O número que impede que o resultado seja o quadrado de um inteiro é o 7, pois ele não aparece elevado ao quadrado. Eliminando esse fator, temos

2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 3^2 \times 3^2 \times 5^2 = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5)^2 = 720^2

Logo, um único fator deve ser eliminado, o fator 7.

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Resolução comentada

Um número é quadrado perfeito quando todos os expoentes na fatoração em primos são pares. Vamos fatorar 10! pelos fatores de 1 a 10:

2 = 2, 4 = 2^2, 6 = 2\cdot 3, 8 = 2^3, 10 = 2\cdot 5.
Expoente do 2: 1+2+1+3+1 = 8 (par).
Expoente do 3: vem de 3, 6 e 9=3^2, logo 1+1+2 = 4 (par).
Expoente do 5: vem de 5 e 10, logo 2 (par).
Expoente do 7: vem só do 7, logo 1 (ímpar).

Assim, 10! = 2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7. Só o primo 7 está com expoente ímpar.

Para corrigir, é preciso eliminar o fator 7, que é o único que o contém. Ao tirá-lo, o produto fica 2^8\cdot 3^4\cdot 5^2 = (2^4\cdot 3^2\cdot 5)^2, um quadrado perfeito.

Não dá para eliminar zero fatores, pois 10! não é quadrado perfeito. Portanto o mínimo é 1 fator.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO produto 10!=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7 não é quadrado perfeito, pois o expoente do 7 é ímpar.
CElimina fatores demais; basta tirar o 7.
DExagero; eliminar apenas o 7 já resolve.
EExagero; apenas um fator precisa sair.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 16 no caderno Nível 1 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 1. Prova oficial ↗