Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2025

Question

Um jogo de Tangram foi construído com sete peças recortadas de um quadriculado no qual o lado de cada quadradinho mede 1\ \text{cm}, conforme a figura abaixo.

Malha quadriculada de 4 por 4 quadradinhos, dividida por linhas pretas em sete peças de Tangram: dois triângulos grandes, um triângulo médio, dois triângulos pequenos, um quadrado e um paralelogramo.

A figura a seguir foi montada com 4 dessas peças sem sobreposição. Qual é a área dessa figura?

Polígono irregular cinza de oito lados, sem divisões internas, formado pela junção de 4 peças do Tangram.

A
8\ \text{cm}^2
B
9\ \text{cm}^2
C
10\ \text{cm}^2
D
11\ \text{cm}^2
E
12\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2025

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um jogo de Tangram foi construído com sete peças recortadas de um quadriculado no qual o lado de cada quadradinho mede 1\ \text{cm}, conforme a figura abaixo.

Malha quadriculada de 4 por 4 quadradinhos, dividida por linhas pretas em sete peças de Tangram: dois triângulos grandes, um triângulo médio, dois triângulos pequenos, um quadrado e um paralelogramo.

A figura a seguir foi montada com 4 dessas peças sem sobreposição. Qual é a área dessa figura?

Polígono irregular cinza de oito lados, sem divisões internas, formado pela junção de 4 peças do Tangram.

A
8\ \text{cm}^2
B
9\ \text{cm}^2
C
10\ \text{cm}^2
D
11\ \text{cm}^2
E
12\ \text{cm}^2

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Sabemos que o lado de cada quadradinho mede 1\ \text{cm}, logo, a área de cada quadradinho é 1\ \text{cm}^2. O lado do quadrado formado pelas peças do Tangram mede 4\ \text{cm}, e a área desse quadrado é 16\ \text{cm}^2.

Na figura, destacamos as peças do Tangram. A relação das peças com o quadrado e com o quadradinho que é a unidade de área nos permite determinar suas respectivas áreas:

os dois triângulos retângulos e isósceles laranjas, posicionados lado a lado, acima e à esquerda, que vamos chamar de "triângulos grandes", têm, cada um, área igual a um quarto da área do quadrado, ou seja, 4\ \text{cm}^2;
o triângulo retângulo isósceles amarelo, na extremidade inferior, à direita, que vamos chamar de "triângulo médio", tem área igual a um oitavo da área do quadrado, ou seja, 2\ \text{cm}^2;
os dois triângulos retângulos e isósceles de cor rosa, que vamos chamar de "triângulos pequenos", têm, cada um, área igual a 1\ \text{cm}^2;
o quadrado branco, formado pela reunião de dois "triângulos pequenos", com área igual a 2\ \text{cm}^2;
o paralelogramo azul, equivalente a um retângulo formado por dois quadradinhos do quadriculado, tem área igual a 2\ \text{cm}^2.

[Figura: malha quadriculada 4 \times 4 contendo a subdivisão das peças do Tangram]

Finalmente, observamos que a figura cuja área queremos determinar pode ser decomposta ou formada por um triângulo grande, um triângulo médio, um quadrado e um paralelogramo.

A área dessa figura será a soma das áreas dessas figuras: 4 + 2 + 2 + 2 = 10; ou seja, igual a 10\ \text{cm}^2.

[Figura: composição formada pela junção de quatro peças do Tangram: um quadrado, um paralelogramo, um triângulo médio e um triângulo grande]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Como as peças foram unidas sem sobreposição, a área procurada é a soma das áreas das quatro peças utilizadas.

Primeiro, identifique essas peças na figura montada. A partir do vértice reentrante da parte de cima, imagine três segmentos: um até o extremo direito e os outros até os dois vértices reentrantes da parte inferior. Eles separam um triângulo grande, um quadrado, um triângulo médio e um paralelogramo.

Agora, use o quadriculado original, no qual cada quadradinho tem área 1\ \text{cm}^2:

O triângulo grande tem base de 4\ \text{cm} e altura de 2\ \text{cm}. Sua área é \frac{4\cdot2}{2}=4\ \text{cm}^2.
O quadrado tem diagonais de 2\ \text{cm}. Sua área é \frac{2\cdot2}{2}=2\ \text{cm}^2.
O triângulo médio tem base e altura de 2\ \text{cm}. Sua área é \frac{2\cdot2}{2}=2\ \text{cm}^2.
O paralelogramo tem base de 2\ \text{cm} e altura correspondente de 1\ \text{cm}. Sua área é 2\cdot1=2\ \text{cm}^2.

Portanto, a área da figura é

A=4+2+2+2=10\ \text{cm}^2.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AFaltam 2 cm² na soma das áreas das quatro peças utilizadas.
BSubestima a soma das áreas, que é 4 + 2 + 2 + 2 = 10 cm².
DAcrescenta 1 cm² à área efetivamente ocupada pelas quatro peças.
ESuperestima a área: a montagem usa apenas um triângulo grande e três peças de 2 cm².

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 15 no caderno Nível 1 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 1. Prova oficial ↗