Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2025

Question

Um número é balanceado se quaisquer dois algarismos consecutivos desse número diferem de, no máximo, uma unidade. Por exemplo, os números 101, 432 e 677 são balanceados; já os números 102, 446 e 532 não são balanceados. Quantos são os números balanceados de três algarismos?

A
71
B
73
C
78
D
74
E
75

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Um número é balanceado se quaisquer dois algarismos consecutivos desse número diferem de, no máximo, uma unidade. Por exemplo, os números 101, 432 e 677 são balanceados; já os números 102, 446 e 532 não são balanceados. Quantos são os números balanceados de três algarismos?

A
71
B
73
C
78
D
74
E
75

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Dado um número de três algarismos ABC, podemos escolher o valor B a partir de A realizando uma dentre três operações no valor de A: +1, + 0, - 1. O mesmo argumento se aplica para escolher o valor de C a partir de B. Apenas temos que tomar o cuidado para que essas escolhas de operações produzam algarismos no conjunto: \{0,1,2,\dots,9\}. Se A é qualquer algarismo de 2 a 8, pelo Princípio Multiplicativo da Contagem, qualquer uma das 3 \cdot 3 = 9 escolhas para os algarismos B e C são admissíveis, exceto a escolha +1 +1quando A = 8. Portanto, começando com um algarismo de 2 a 8, temos 7 \cdot 9 - 1 = 62 números balanceados. Falta contarmos os números que começam com 1 ou 9, mas isso pode ser feito por listagem:

100, 101, 110, 111, 112, 123, 122, 121, 999, 998, 989, 988 e 987

Portanto, existem 62 + 13 = 75 números balanceados.

Uma listagem organizada também soluciona o problema:

100, 101, 110, 111, 112, 123, 122, 121
210, 211, 212, 221, 222, 223, 232, 233, 234
321, 322, 323, 332, 333, 334, 343, 344, 345
432, 433, 434, 443, 444, 445, 454, 455, 456
543, 544, 545, 554, 555, 556, 565, 566, 567
654, 655, 656, 665, 666, 667, 676, 677, 678
765, 766, 767, 776, 777, 778, 787, 788, 789
876, 877, 878, 887, 888, 889, 898, 899
987, 988, 989, 998, 999

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Resolução comentada

Vamos contar por etapas, olhando o último algarismo. Seja f_n(d) a quantidade de números balanceados com n algarismos terminados em d. Um número que termina em d pode ter como penúltimo algarismo d-1, d ou d+1, desde que esse algarismo exista.

Com 1 algarismo (de 1 a 9): f_1(d)=1 para d=1,\dots,9 e f_1(0)=0.
Com 2 algarismos, somamos f_1 dos vizinhos:
- f_2(0)=f_1(0)+f_1(1)=1 (é o 10);
- f_2(1)=0+1+1=2;
- f_2(d)=3 para d=2,\dots,8;
- f_2(9)=1+1=2.
  Total: 1+2+7\cdot 3+2=26.
Com 3 algarismos, somamos f_2 dos vizinhos:
- f_3(0)=1+2=3;
- f_3(1)=1+2+3=6;
- f_3(2)=2+3+3=8;
- f_3(d)=3+3+3=9 para d=3,\dots,7, o que dá 5\cdot 9=45;
- f_3(8)=3+3+2=8;
- f_3(9)=3+2=5.

Somando: 3+6+8+45+8+5=75.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubtrai casos indevidamente ao tratar os extremos 0 e 9, ficando abaixo do total correto.
BErra a contagem nos algarismos das pontas (0, 1, 8, 9) e perde 2 números.
CContagem excessiva: ignora que os algarismos 0 e 9 têm menos vizinhos possíveis.
DPerde um único caso nas bordas, como o 10x ou o 98x.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 15 no caderno Nível 2 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗