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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

A cor de cada número de um relógio alterna de preto para branco ou de branco para preto, cada vez que qualquer um dos ponteiros aponta para a marca da hora que esse número representa no relógio. À meia-noite todos os números ficam pretos e, depois, a alternância de cores começa. Na figura, vemos as cores dos números do relógio em alguns horários.

Três relógios analógicos com fundo rosa. O primeiro marca 0h 00min (meia-noite) e tem todos os números de 1 a 12 na cor preta. O segundo marca 0h 30min e tem os números de 1 a 6 na cor branca e de 7 a 12 na cor preta. O terceiro marca 1h 40min e tem os números 9, 10, 11, 12 e 1 na cor branca, e os números de 2 a 8 na cor preta.

Como estarão as cores dos números às 3h 30min?

  1. A
    Relógio analógico marcando 3h 30min com os números 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 2 e 3 na cor branca, e os números 4, 5 e 6 na cor preta.
  2. B
    Relógio analógico marcando 3h 30min com os números 3, 4, 5 e 6 na cor branca, e os números 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1 e 2 na cor preta.
  3. C
    Relógio analógico marcando 3h 30min com os números 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1 e 3 na cor branca, e os números 2, 4, 5 e 6 na cor preta.
  4. D
    Relógio analógico marcando 3h 30min com os números 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 3 na cor branca, e os números 1, 2, 4, 5 e 6 na cor preta.
  5. E
    Relógio analógico marcando 3h 30min com os números 1, 2, 4, 5 e 6 na cor branca, e os números 3, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 na cor preta.
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Resolução comentada

Resolução comentada

Cada número troca de cor a cada vez que um ponteiro passa pela marca dele. Então a cor final depende de quantas vezes os dois ponteiros passaram por esse número: número par de passagens deixa preto, número ímpar deixa branco.

A conferência com a figura do relógio de 0h30min mostra que o ponteiro dos minutos passou por 1 a 6 (1 vez cada), e os dos minutos e horas de 1h40min confirmam a regra.

Agora, de 0h00 até 3h30min:

  1. Ponteiro dos minutos: dá 3 voltas completas (0h a 3h), passando por todos os números 12, 1, ..., 11 três vezes. Depois, de 3h a 3h30min, passa por 12, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (a marca 6 às 3h30min exatamente). Contando também o 12 do começo de cada volta: a cada volta completa cada número recebe 3 passagens no total (3 voltas), e na meia hora final os números 1 a 6 recebem mais 1 (o 12 em 3h00 também conta, mas o 12 inicial da meia-noite não, pois é o ponto de partida). Resultado do ponteiro dos minutos: 1 a 6 passam 4 vezes; 7 a 11 passam 3 vezes; o 12 passa 3 vezes (às 1h, 2h, 3h).

  2. Ponteiro das horas: de 0h a 3h30min, passa pelo 1, pelo 2 e pelo 3, uma vez cada (às 1h, 2h e 3h). Chega a 3,5 e não alcança o 4.

  3. Total de passagens: 1: 4+1=5 (ímpar, branco); 2: 5 (branco); 3: 5 (branco); 4: 4 (preto); 5: 4 (preto); 6: 4 (preto); 7 a 11: 3 (branco); 12: 3 (branco).

Logo, brancos: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 2 e 3; pretos: 4, 5 e 6.

Alternativa A.

Pegadinha: Esquecer a passagem do ponteiro das horas pelos números 1, 2 e 3 (alternativas C e D) ou contar só uma volta dos minutos.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BPinta de branco só 3 a 6 e deixa o resto preto, ignorando as voltas completas do ponteiro dos minutos.
  • CDeixa o 2 preto, esquecendo a passagem do ponteiro das horas pelo 2 (às 2h).
  • DDeixa 1 e 2 pretos, esquecendo que o ponteiro das horas passou por eles às 1h e 2h.
  • EInverte as cores, deixando brancos os números que deveriam ser pretos e vice-versa.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Fonte: OBMEP 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗