Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2025

Question

Na conta armada da figura, as letras representam algarismos distintos e diferentes de zero. Qual é o valor de \text{O} + \text{B} + \text{M} + \text{E} + \text{P}?

\begin{array}{cccc} & \text{O} & \text{B} & \text{M} \\ + & & \text{E} & \text{P} \\ \hline 1 & 0 & 5 & 2 \end{array}

A
35
B
30
C
25
D
20
E
18

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2025

Nível 1 · Matemática: Sistemas de numeração

Na conta armada da figura, as letras representam algarismos distintos e diferentes de zero. Qual é o valor de \text{O} + \text{B} + \text{M} + \text{E} + \text{P}?

\begin{array}{cccc} & \text{O} & \text{B} & \text{M} \\ + & & \text{E} & \text{P} \\ \hline 1 & 0 & 5 & 2 \end{array}

A
35
B
30
C
25
D
20
E
18

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Adição armada com a primeira parcela O B M, a segunda parcela E P e resultado 1 0 5 2.]

Como a soma de quaisquer dois algarismos distintos é menor que 18, para que tenhamos a unidade de milhar no resultado, deve ocorrer o “vai um” na soma das centenas. Assim, \text{O} + 1 = 10 e, consequentemente, \text{O} = 9. Ocorre também o “vai um” na soma das dezenas.

Passemos agora às casas das unidades. Se não ocorrer o “vai um” na soma das unidades, devemos ter \text{M} + \text{P} = 2. Como os algarismos são distintos, isso forçaria um deles a ser 0 e o outro a ser 2, mas isso não é possível porque o enunciado diz que todos os algarismos O, B, M, E, P são diferentes de zero. Logo, ocorre o “vai um” na soma das unidades, ou seja, \text{M} + \text{P} = 12 e, daí, \text{B} + \text{E} + 1 = 15. Assim, \text{B} + \text{E} = 14 e \text{O} + \text{B} + \text{M} + \text{E} + \text{P} = 9 + (\text{B} + \text{E}) + (\text{M} + \text{P}) = 9 + 14 + 12 = 35.

Um exemplo que satisfaz o problema é 987 + 65.

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Resolução comentada

A conta é \overline{OBM} + \overline{EP} = 1052. Vamos resolver coluna por coluna, da direita para a esquerda, lembrando do "vai um".

Unidades: M + P termina em 2. Como M e P são distintos e não nulos, M+P=2 exigiria 1+1, o que não vale. Logo M + P = 12, e vai 1 para as dezenas.
Dezenas: B + E + 1 termina em 5, então vale 5 ou 15. O resultado 5 daria B+E=4, e o resultado 15 daria B+E=14. Precisamos olhar a coluna seguinte para decidir.
Centenas: o resultado tem 0 nas centenas e 1 nos milhares, então O + (\text{vai um}) = 10. Como O \le 9, é necessário que vá 1 das dezenas e O = 9. Isso exige B + E + 1 = 15, ou seja, B + E = 14.
Soma pedida:

O + B + M + E + P = 9 + 14 + 12 = 35

Existe uma escolha possível com algarismos distintos: B=6, E=8, M=5, P=7, O=9. Conferindo: 965 + 87 = 1052.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhuma soma consistente com as colunas; resulta de errar a soma 9+14+12.
CIgnora o "vai um" das colunas e não é compatível com O=9, B+E=14 e M+P=12.
DSubestima as somas das colunas, como se B+E ou M+P fossem menores do que o necessário.
EResulta de tomar B+E=4 e M+P=12 sem a condição do "vai um" nas centenas; daria 9+4+12=25, não 18.

Assuntos: Sistemas de numeração, Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 14 no caderno Nível 1 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 1. Prova oficial ↗