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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Progressão aritmética

Jairo tem muitas cordas com 2 metros cada uma. Quando ele amarra duas dessas cordas, ele obtém uma nova corda com 3 metros e 70 centímetros.

Ilustração mostrando duas cordas esticadas horizontalmente na parte superior, cada uma com a indicação de comprimento "2 m". Abaixo delas, as duas cordas aparecem unidas por um nó central, e uma seta dupla entre linhas tracejadas nas extremidades indica que o comprimento total da corda amarrada é "3,7 m".

Se ele quiser uma corda com exatamente 20 metros, ele precisará cortar um pedaço da última corda amarrada.

Qual é o tamanho, em metros, desse pedaço?

  1. A
    0{,}95
  2. B
    0{,}70
  3. C
    0{,}45
  4. D
    0{,}30
  5. E
    0{,}15
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Resolução comentada

Resolução comentada

Cada nó "consome" parte do comprimento das cordas. Duas cordas de 2 m somam 4 m, mas a corda amarrada tem 3,7 m. Logo, cada nó faz perder:

4 - 3{,}7 = 0{,}3\ \text{m}

Assim, cada corda adicionada acrescenta 2 - 0{,}3 = 1{,}7 m ao comprimento total (a primeira corda entra inteira, com 2 m).

Com n cordas amarradas, há n-1 nós, e o comprimento é:

L = 2n - 0{,}3(n-1) = 1{,}7n + 0{,}3

Queremos o menor n tal que L \geq 20:

  1. 1{,}7n + 0{,}3 \geq 20
  2. 1{,}7n \geq 19{,}7
  3. n \geq 11{,}59\ldots, então n = 12.

Com 12 cordas:

L = 1{,}7 \cdot 12 + 0{,}3 = 20{,}4 + 0{,}3 = 20{,}7\ \text{m}

Com 11 cordas teríamos 1{,}7\cdot 11 + 0{,}3 = 19{,}0 m, que não basta.

Para ficar com 20 m, corta-se da última corda:

20{,}7 - 20 = 0{,}7\ \text{m}

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana: 0{,}3 m é a perda em cada nó, número que aparece no meio da conta, mas não é o pedaço a cortar.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem base na conta; não corresponde a 20{,}7-20.
  • CNão corresponde ao excesso de 0{,}7 m; erro ao contar o número de nós.
  • DÉ só a perda de um nó (0{,}3 m), não o excesso sobre 20 m.
  • EValor sem base na conta; ignora a perda de 0{,}3 m por nó.

Assuntos: Progressão aritmética, Frações, decimais e operações básicas.

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Ver como caiu na prova Questão 13 no caderno Nível 2 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗