Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2025

Question

Quantos dados diferentes existem com faces pretas, brancas ou vermelhas em que faces opostas quaisquer tenham cores diferentes e as três cores apareçam em cada dado?

A
6
B
8
C
16
D
22
E
36

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Quantos dados diferentes existem com faces pretas, brancas ou vermelhas em que faces opostas quaisquer tenham cores diferentes e as três cores apareçam em cada dado?

A
6
B
8
C
16
D
22
E
36

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Os dados devem ter faces opostas de cores diferentes. Logo não é possível termos um dado com quatro faces de uma mesma cor pois, neste caso, pelo menos um par de faces opostas teriam a mesma cor.

Os dados também devem ter pelo menos uma face preta, uma face vermelha e uma face branca.

Assim, temos as seguintes possibilidades de dados diferentes:

Duas faces de uma cor 1, duas faces de uma cor 2 e duas faces de uma cor 3.
Três faces de uma cor 1, duas faces de uma cor 2 e uma face de uma cor 3.

Na possibilidade 1) as faces de uma mesma cor devem ter uma aresta comum, senão seriam faces opostas de uma mesma cor. Além disso, essas três arestas não podem ser paralelas. Temos duas situações possíveis para essas três arestas não serem paralelas entre si:

[Figura: dois cubos em perspectiva isométrica, cada um com três arestas destacadas com traços mais grossos em tons de preto e cinza]

Se girarmos essas situações conforme abaixo, vamos observar que, independentemente da cor, em cada uma delas os dados serão todos iguais.

[Figura: duas fileiras de três cubos cada, ilustrando rotações no espaço das duas configurações anteriores com arestas destacadas]

Logo temos dois dados diferentes no caso de duas faces de uma cor 1, duas faces de uma cor 2 e duas faces de uma cor 3.

Na possibilidade 2) as três faces de uma mesma cor devem ter um vértice em comum, senão seriam faces opostas de uma mesma cor. Além disso, as duas faces de uma mesma cor devem ter uma aresta comum. Se girarmos esse dado conforme mostra a figura abaixo, vamos observar que, escolhidas as cores, eles serão todos iguais.

[Figura: três cubos em perspectiva isométrica mostrando diferentes rotações de um dado com três arestas concorrentes em um mesmo vértice destacadas em preto grosso]

Logo temos 6 dados diferentes no caso de três faces de uma cor 1, duas faces de uma cor 2 e uma face de uma cor 3, pois temos 3 possibilidades de escolha para a cor 1, duas possibilidades de escolha para a cor 2 e uma possibilidade de escolha para a cor 3, totalizando 3 \times 2 \times 1 = 6 dados diferentes.

Temos, então, 2 + 6 = 8 dados diferentes com faces pretas, brancas ou vermelhas em que faces opostas quaisquer tenham cores distintas e as três cores apareçam em cada dado.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Cada par de faces opostas deve ter duas cores diferentes. Contamos primeiro com o cubo fixo, sem considerar rotações, e depois descontamos as rotações.\n\n1. Para um par de faces opostas, há 3\cdot 2=6 maneiras de colorir: 3 escolhas de duas cores diferentes e 2 formas de distribuí-las nas faces. Com 3 pares, são 6^3=216 colorações.\n\n2. As três cores precisam aparecer. Isso só falha se os três pares usarem o mesmo par de cores, o que dá 3\cdot 2^3=24 colorações. Restam 216-24=192.\n\n3. Um dado pode ser girado de 24 maneiras, e giros diferentes dão colorações que representam o mesmo dado. Precisamos saber se algum giro, que não seja o trivial, deixa uma coloração válida igual a ela mesma:\n- Giro de 90^\circ ou 180^\circ em torno do eixo de duas faces opostas: a face da frente tomaria a cor de uma face que é igual a ela ou à sua oposta. No giro de 180^\circ, por exemplo, frente e trás trocam de lugar e, para a coloração não mudar, elas teriam de ter a mesma cor, o que é proibido.\n- Giro de 180^\circ em torno do eixo de duas arestas opostas: duas faces opostas trocariam entre si, e teriam de ter a mesma cor, o que é proibido.\n- Giro de 120^\circ em torno do eixo de dois vértices opostos: as três faces ao redor de um vértice teriam a mesma cor, e as três do vértice oposto também. Só apareceriam duas cores, o que é proibido.\n\nPortanto, nenhuma coloração válida é fixada por giro não trivial. Cada dado corresponde exatamente a 24 colorações do cubo fixo.\n\n4. Número de dados: \dfrac{192}{24}=8.\n\nAlternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor pequeno demais; não corresponde à contagem correta de 192 colorações divididas pelos 24 giros.
CDobra o resultado, como se a divisão fosse por 12 em vez de 24 giros.
DNão resulta de nenhuma contagem coerente com o enunciado.
ENão dá o número de dados porque ignora parte das exigências ou das rotações equivalentes.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗