Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2025

Resolução comentada

Subtraindo as duas equações: x^2 - y^2 + y - x = 0, ou seja, (x-y)(x+y) - (x-y) = (x-y)(x+y-1)=0.

Então há dois casos.

Caso 1: y = x. A primeira equação vira x^2 + x - 1 = 0. As raízes são x = \frac{-1\pm\sqrt5}{2}, e a soma delas é -1 (soma das raízes =-b/a).

Caso 2: y = 1 - x. Substituindo na primeira equação: x^2 + 1 - x = 1, logo x^2 - x = 0, e x = 0 ou x = 1. Os pares são (0,1) e (1,0). Conferindo na segunda equação: 1^2+0=1 e 0^2+1=1. Valem. A soma dos valores de x é 0+1 = 1.

Os valores de x dos dois casos são distintos, pois \frac{-1\pm\sqrt5}{2} são irracionais e 0 e 1 não são. Portanto não há repetição.

Soma total dos valores de x:

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem resolve só o caso x=y e esquece o fator x+y-1=0, que gera mais duas soluções.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConsidera só o caso y=1-x, que dá 0+1=1, esquecendo as soluções com x=y.
• BConsidera só o caso x=y, cuja soma é -1, esquecendo as soluções (0,1) e (1,0).
• DUsa o discriminante \sqrt5 como se fosse a soma, mas as raízes se cancelam.
• EMesmo erro de usar \sqrt5 com sinal trocado, sem somar as raízes corretamente.

Assuntos: Equação do 2º grau, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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