Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2025

Resolução comentada

Use o quadrado da soma: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, com a = 10^{25} e b = 25.

1. a^2 = 10^{50}, que é o algarismo 1 seguido de 50 zeros.
2. 2ab = 2\cdot 25\cdot 10^{25} = 50\cdot 10^{25} = 5\cdot 10^{26}, que é o algarismo 5 seguido de 26 zeros.
3. b^2 = 625.

Agora some os três números, olhando as posições (potências de 10):

• 10^{50} ocupa a posição 50 (algarismo 1);
• 5\cdot 10^{26} ocupa a posição 26 (algarismo 5);
• 625 ocupa as posições 2, 1 e 0.

Como as posições não se sobrepõem (50, 26 e 0 a 2), não há "vai um" nem soma de algarismos na mesma casa. O número é

com algarismos diferentes de zero apenas 1, 5, 6, 2 e 5.

Soma dos algarismos: 1 + 5 + 6 + 2 + 5 = 19.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AErra a soma dos algarismos ou omite um deles, por exemplo esquece o 5 de 5\cdot10^{26} e o 1 e acaba em valor incorreto.
• CSoma a mais, contando um algarismo extra que não existe no número.
• DConfunde com o expoente 25 ou com o 25 do enunciado, sem calcular o quadrado.
• ESupõe sobreposição ou "vai um" entre as parcelas, o que não ocorre.

Assuntos: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração, Sistemas de numeração.

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