Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2025

Resolução comentada

Os pedidos dos filhos fixam dois ingredientes: a sopa não leva salsinha e leva alho.

Sobram três ingredientes livres: cebola, batata e cenoura. Cada um deles pode entrar ou não na sopa.

Além disso, a sopa precisa ter três ou mais ingredientes. Como o alho já está na sopa, falta escolher pelo menos 2 dos 3 ingredientes livres.

1. Escolher exatamente 2 dos 3 livres: \binom{3}{2}=3 maneiras (cebola e batata; cebola e cenoura; batata e cenoura). Cada uma dá uma sopa com 3 ingredientes.
2. Escolher os 3 livres: \binom{3}{3}=1 maneira. A sopa fica com 4 ingredientes (alho, cebola, batata e cenoura).

Escolher 0 ou 1 ingrediente livre daria sopas com 1 ou 2 ingredientes, o que não é permitido.

Total: 3+1=4 maneiras.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem esquece a sopa com os quatro ingredientes (alho, cebola, batata e cenoura), contando só as de três.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta poucas combinações, esquecendo que há várias escolhas de dois ingredientes livres.
• BConta só as sopas com 3 ingredientes e esquece a sopa com 4 (alho, cebola, batata e cenoura).
• DInclui indevidamente uma sopa com apenas 2 ingredientes, violando o mínimo de três.
• EConta além do permitido, por exemplo incluindo sopas com menos de três ingredientes.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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