Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2025

Question

Cada um dos 250 habitantes de uma ilha prefere uma fruta entre banana, maçã ou uva. Alguns deles sempre mentem e os demais sempre dizem a verdade. Todos os habitantes da ilha responderam às seguintes perguntas:

Sua fruta preferida é banana?
Sua fruta preferida é maçã?
Sua fruta preferida é uva?

Responderam sim a essas perguntas 140, 120 e 110 habitantes, respectivamente. Quantos habitantes da ilha sempre mentem?

A
120
B
110
C
220
D
230
E
80

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Cada um dos 250 habitantes de uma ilha prefere uma fruta entre banana, maçã ou uva. Alguns deles sempre mentem e os demais sempre dizem a verdade. Todos os habitantes da ilha responderam às seguintes perguntas:

Sua fruta preferida é banana?
Sua fruta preferida é maçã?
Sua fruta preferida é uva?

Responderam sim a essas perguntas 140, 120 e 110 habitantes, respectivamente. Quantos habitantes da ilha sempre mentem?

A
120
B
110
C
220
D
230
E
80

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Se temos X pessoas que dizem a verdade e Y pessoas que mentem, então o número de “SIM’s” é X + 2Y, pois cada um que diz a verdade diz SIM para uma fruta, enquanto os mentirosos dizem SIM para duas frutas. O total de SIM’s é 140 + 120 + 110 = 370. Como podemos escrever X + 2Y = X + Y + Y e como X + Y é o número de pessoas da ilha, temos 370 = 250 + Y e Y = 120.

Outra solução: Cada habitante que diz a verdade vai responder “sim” para uma pergunta (sobre a fruta de que gosta) e “não” para duas perguntas (sobre as frutas de que não gosta).

Por outro lado, cada habitante mentiroso vai responder “sim” para duas perguntas (sobre as frutas de que não gosta) e “não” para uma pergunta (sobre a fruta de que gosta).

Isso significa que haverá um excesso de respostas “sim” para as perguntas quando considerado o número total de habitantes da ilha, pois os mentirosos responderão “sim” o dobro de vezes do que responderiam caso estivessem dizendo a verdade. Esse excesso corresponde justamente ao número de mentirosos.

Há 140 + 120 + 110 = 370 respostas “sim” para as três perguntas. Portanto, há 370 - 250 = 120 mentirosos na ilha.

Solução alternativa: caso todos os habitantes da ilha estivessem dizendo a verdade, haveria o dobro de respostas “não” quando comparadas às respostas “sim”, pois cada habitante diria “sim” para a fruta de que gosta e “não” para as duas frutas de que não gosta.

Há 140 + 120 + 110 = 370 respostas “sim”. Caso todos estivessem dizendo a verdade, haveria 2 \times 370 = 740 respostas “não”. Por outro lado, há 250 habitantes na ilha, então deveria haver 2 \times 250 = 500 respostas “não”. Isso significa que há um excesso de 740 - 500 = 240 respostas “não”. Portanto, há 240 \div 2 = 120 mentirosos na ilha.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Veja o que cada tipo de habitante responde às três perguntas.

Um verdadeiro diz sim só para a sua fruta preferida: dá 1 sim e 2 não.

Um mentiroso mente nas três: diz sim para as duas frutas que não prefere e não para a que prefere. Dá 2 sins e 1 não.

Sejam V o número de verdadeiros e M o de mentirosos.

Total de habitantes: V + M = 250.
Total de respostas sim: 140 + 120 + 110 = 370.
Contando por tipo: V + 2M = 370.

Subtraindo a primeira equação da segunda:

(V + 2M) - (V + M) = 370 - 250 \Rightarrow M = 120.

Então há 120 mentirosos e V = 130 verdadeiros.

Conferência: 130 \cdot 1 + 120 \cdot 2 = 130 + 240 = 370. Confere.

O total de sins por pergunta (140, 120, 110) não precisa ser usado individualmente; só a soma importa.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

B110 é só o número de sins para uva, sem relação com o total de mentirosos.
CValor sem base nas equações; não satisfaz V+2M=370 com V+M=250.
DValor sem base nas equações; ignora que cada mentiroso dá 2 sins.
EResulta de erro de conta; V+2M não daria 370.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 11 no caderno Nível 3 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗