Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2025

Question

Na figura, ABCDEFGH é um octógono regular de centro O. O ponto M é o ponto médio do lado CD e a área do octógono é igual a 16\text{ cm}^2. Qual é a área da região amarela?

Octógono regular ABCDEFGH com centro O, onde o polígono OABCM está sombreado em amarelo, sendo M o ponto médio do segmento CD

A
5\text{ cm}^2
B
4{,}0\text{ cm}^2
C
4{,}5\text{ cm}^2
D
5{,}5\text{ cm}^2
E
6\text{ cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura, ABCDEFGH é um octógono regular de centro O. O ponto M é o ponto médio do lado CD e a área do octógono é igual a 16\text{ cm}^2. Qual é a área da região amarela?

Octógono regular ABCDEFGH com centro O, onde o polígono OABCM está sombreado em amarelo, sendo M o ponto médio do segmento CD

A
5\text{ cm}^2
B
4{,}0\text{ cm}^2
C
4{,}5\text{ cm}^2
D
5{,}5\text{ cm}^2
E
6\text{ cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Na figura aparecem as diagonais do octógono que passam pelo ponto O; elas dividem o octógono em oito triângulos congruentes. Como a área do octógono é 16\text{ cm}^2, a área de cada um desses triângulos é \frac{16}{8} = 2\text{ cm}^2. Como M é o ponto médio de CD, os triângulos OMC e OMD são congruentes e segue que a área do triângulo OMC é metade da área do triângulo OCD. Finalmente, o polígono amarelo é formado por dois triângulos de área 2\text{ cm}^2 e pelo triângulo OMC; sua área é, então, 2 \cdot 2 + 1 = 5\text{ cm}^2.

[Figura: Octógono regular com centro O, dividido em 8 triângulos congruentes por segmentos ligando vértices opostos através de O. Quatro vértices consecutivos à direita estão identificados como A, B, C e D, e o ponto médio do lado CD é identificado como M. A região delimitada pelos pontos O, A, B, C, M está colorida em amarelo.]

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Resolução comentada

O octógono regular de centro O se divide em 8 triângulos congruentes (cada um formado por O e um lado). Como a área total é 16\ \text{cm}^2, cada triângulo tem:

\frac{16}{8}=2\ \text{cm}^2

A região amarela é o polígono OABCM. Pela figura, ela contém:

o triângulo OAB, com área 2\ \text{cm}^2;
o triângulo OBC, com área 2\ \text{cm}^2;
o triângulo OCM, que é metade do triângulo OCD.

O triângulo OCM é metade de OCD porque M é ponto médio de CD. Os triângulos OCM e OMD têm a mesma altura, a partir de O até a reta CD, e bases iguais CM=MD. Logo:

\text{área}(OCM)=\frac{2}{2}=1\ \text{cm}^2

Somando:

2+2+1=5\ \text{cm}^2

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BConsidera apenas dois triângulos inteiros (4 cm²) e ignora a parte OCM.
CNão corresponde a nenhuma soma de triângulos de 2 cm² e metades; é um valor sem base na divisão do octógono.
DSoma 2 + 2 + 1,5, tratando OCM como 3/4 de um triângulo, mas M é ponto médio e dá metade.
EConta três triângulos inteiros, esquecendo que OCM é só metade de OCD.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 1 no caderno Nível 2 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗