Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, D; versão 3, E; versão 4, A; versão 5, B.

Resolução comentada

Precisamos escolher quais duas cartolas serão usadas e depois distribuir os coelhos entre elas, sem deixar nenhuma das duas vazia e com 2 coelhos em cada.

1. Escolher as duas cartolas usadas, entre as 4: \binom{4}{2}=6 maneiras.

2. Escolher quais 2 dos 4 coelhos (todos de cores diferentes, logo distinguíveis) vão para a cartola de menor número: \binom{4}{2}=6 maneiras. Os outros dois vão automaticamente para a outra cartola.

3. Pelo princípio multiplicativo:

Conferindo por outro caminho: dividir os 4 coelhos em dois pares sem ordem dá \frac{6}{2}=3 maneiras. Cada divisão em pares pode ser colocada em duas cartolas escolhidas de 4\times 3=12 modos (a ordem importa, pois as cartolas são distintas): 3\times 12=36. Confere.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B (72) engana quem multiplica 6\times 12, esquecendo que dividir em dois pares já está contado sem ordem, e conta duas vezes cada arranjo.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AParece vir de contagem excessiva, como permutar coelhos e cartolas sem respeitar que a ordem dentro da cartola não importa.
• BDobra o resultado correto, contando duas vezes a mesma distribuição (ordem das cartolas ou dos pares).
• DCalcula 4^2 ou algo semelhante, ignorando que os coelhos são distintos e que cada cartola recebe exatamente dois.
• EConsidera apenas o número de cartolas, sem contar as escolhas dos coelhos.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.