Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2024

Question

O triângulo ABC da figura é isósceles e sua base AB mede 8\text{ cm}. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente. Qual é o perímetro, em centímetros, do triângulo ABC?

Triângulo isósceles ABC com base AB. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC, unidos por um segmento MN paralelo a AB. Há uma circunferência inscrita no trapézio ABNM, tangente aos lados AB, BN, NM e MA.

A
32
B
30
C
38
D
34
E
36

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2024

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

O triângulo ABC da figura é isósceles e sua base AB mede 8\text{ cm}. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente. Qual é o perímetro, em centímetros, do triângulo ABC?

Triângulo isósceles ABC com base AB. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC, unidos por um segmento MN paralelo a AB. Há uma circunferência inscrita no trapézio ABNM, tangente aos lados AB, BN, NM e MA.

A
32
B
30
C
38
D
34
E
36

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como M e N são pontos médios de AC e BC, respectivamente, os triângulos ABC e MNC são semelhantes, na razão 2:1. MN é a chamada base média do triângulo ABC, e como AB = 8 então MN é 4, que é a metade. Considere os pontos de tangência entre a circunferência e os lados do trapézio ABNM como sendo D, G, E e F, como mostrado na figura. Perceba que AF e AD são congruentes, uma vez que F e D são pontos de tangência, podemos escrever AF = AD = x. De modo análogo, BG = BD = y, MF = ME = z e finalmente NE = NG = w. Veja agora que AB + MN = x + y + z + w = AF + BG + MF + NG = AM + BN, como AB = 8 e MN = 4 temos então que AM + BN = 12, e como o triângulo ABC é isósceles, AM = BN = 6. Sendo M e N pontos médios, temos que AC = BC = 2 \times 6 = 12.

[Figura: Triângulo ABC com vértice C no topo e base horizontal AB. O segmento MN é paralelo à base AB, com M no lado AC e N no lado BC, formando o trapézio ABNM. Uma circunferência está inscrita no trapézio ABNM, com pontos de tangência D na base AB, E no segmento MN, F no lado AM e G no lado BN.]

Portanto o perímetro do triângulo ABC é 12 + 12 + 8 = 32\text{ cm}.

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Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Como M e N são pontos médios de AC e BC, o segmento MN é base média do triângulo: é paralelo a AB e mede metade dela, ou seja, MN = 4\text{ cm}.

Agora usamos o teorema de Pitot: num quadrilátero que tem circunferência inscrita, a soma dos lados opostos é igual. No trapézio ABNM, os lados opostos são AB com MN, e AM com BN. Então:

AB + MN = AM + BN

AB + MN = 8 + 4 = 12.
Logo AM + BN = 12.
Como o triângulo é isósceles, AM = BN (são metades de lados iguais), então AM = BN = 6\text{ cm}.
Como M é ponto médio, AC = 2\cdot AM = 12\text{ cm}, e do mesmo modo BC = 12\text{ cm}.

O perímetro do triângulo ABC é:

AB + AC + BC = 8 + 12 + 12 = 32\text{ cm}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com o cálculo; resulta de usar medidas erradas para os lados AC e BC.
CSuperestima os lados iguais (15 cm cada), sem respeitar a igualdade AB + MN = AM + BN.
DDaria lados iguais a 13 cm, o que não satisfaz o teorema de Pitot.
EDaria lados iguais a 14 cm; esquece que AM é só metade de AC ou erra a soma.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 10 no caderno Nível 3 da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2024 · Nível 3. Prova oficial ↗

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