Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, E; versão 3, A; versão 4, B; versão 5, C.

Resolução comentada

Se cada reta é paralela a exatamente outras três, ela pertence a um grupo de 4 retas paralelas entre si. Como são 24 retas, há 24 \div 4 = 6 grupos de 4 retas paralelas.\n\nRetas de um mesmo grupo não se cruzam. Retas de grupos diferentes se cruzam em exatamente um ponto, pois não são paralelas. Como não há três retas passando pelo mesmo ponto, cada cruzamento gera um ponto distinto.\n\nPassos da contagem:\n\n1. Total de pares de retas: \binom{24}{2} = \dfrac{24\cdot 23}{2} = 276.\n2. Pares de retas paralelas (dentro de um mesmo grupo): cada grupo tem \binom{4}{2} = 6 pares, e há 6 grupos, então 6 \cdot 6 = 36 pares.\n3. Pares que se cruzam: 276 - 36 = 240.\n\nComo cada par que se cruza dá um ponto diferente, o número de pontos de interseção é 240.\n\nConferindo de outro modo: cada reta cruza 24 - 4 = 20 retas (exclui ela mesma e as 3 paralelas). Então 24 \cdot 20 / 2 = 240.\n\nAlternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana quem conta todos os pares de retas (276) e esquece que retas paralelas não se cruzam.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta todos os pares de retas, \binom{24}{2}=276, sem descontar os pares paralelos.
• BValor sem relação com a contagem correta; não resulta de nenhum raciocínio válido sobre os pares que se cruzam.
• CNão corresponde a nenhuma contagem válida dos pares que se cruzam.
• EValor sem sentido para o problema; não vem da contagem de pares não paralelos.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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