Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, E; versão 3, A; versão 4, B; versão 5, C.

Resolução comentada

Cada nova camada de triângulos é colocada sobre o perímetro da figura anterior. Precisamos contar quantos triângulos cabem nessa camada, olhando o que acontece nas primeiras figuras.

1. Figura 1: 1 triângulo, perímetro 3.
2. Figura 2: acrescentam-se 3 triângulos, um em cada lado. Total 4, e o perímetro vira 6 (lados unitários), pois a figura é um triângulo de lado 2.
3. Figura 3: acrescentam-se 6 triângulos (a figura mostra 6 pontas). Total 10. O perímetro é 9.
4. Figura 4: acrescentam-se 9 triângulos. Total 19, e o perímetro é 12 (a figura tem 3 pontas em cada uma das 4 regiões, mas o desenho mostra um perímetro de 12 lados).

Observe o padrão: cada lado do perímetro recebe um triângulo apoiado nele, e cada vértice côncavo recebe um triângulo que encaixa em dois lados. O número de triângulos acrescentados é o perímetro da figura anterior. Um triângulo apoiado em um lado esconde esse lado, mas o encaixe nos vértices côncavos esconde dois lados de uma vez.

Contando com os dados: acrescentados na Figura 2: 3; na Figura 3: 6; na Figura 4: 9. A Figura 4 foi obtida somando 9 à Figura 3.

Pelo padrão, para obter a Figura n somam-se 3(n-1) triângulos. Para a Figura 10:

Portanto, devem ser adicionados 27 triângulos à Figura 9.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACorresponde a 3\cdot 8, usando a Figura 9 como se fosse a que gera a Figura 9, erro de uma posição.
• BCorresponde a 3\cdot 7, deslocando o padrão em duas posições.
• CCorresponde a 3\cdot 10, esquecendo que a Figura n soma 3(n-1).
• ECorresponde a 3\cdot 6, sem relação com o padrão da sequência.

Assunto: Sequências e padrões.

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