Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, A; versão 3, B; versão 4, C; versão 5, D.

Resolução comentada

Cada paralelogramo formado por dois triângulos pequenos tem área 2\ \text{cm}^2. Se os lados de um triângulo da malha saem de um mesmo vértice como \vec{u} e \vec{v} (nas duas direções da malha), sua área vale metade da do paralelogramo de lados \vec{u} e \vec{v}.

Para medir, usamos como unidades dois passos da malha: a (descer para a esquerda) e b (descer para a direita). Contando a partir do vértice de cima da região cinza:

1. Do vértice de cima até o vértice da direita: 3 passos b e 0 passos a. O vetor é (0,3).
2. Do vértice de cima até o vértice de baixo: 3 passos a e 1 passo b. O vetor é (3,1).
3. O "produto cruzado" dos dois vetores é |0\cdot 1 - 3\cdot 3| = 9. Esse número é a área do paralelogramo medida em triângulos pequenos dividida por 2, ou seja, a área do triângulo cinza em triângulos pequenos. Cada paralelogramo unitário a\times b tem 2 triângulos pequenos, e o triângulo cinza é metade do paralelogramo de lados (0,3) e (3,1), que tem 9 paralelogramos unitários, isto é, 18 triângulos pequenos.

Logo, a região cinza tem 18/2 = 9 triângulos pequenos, cada um com 1\ \text{cm}^2.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor acima do real; resulta de contar triângulos incluindo partes fora da região cinza.
• BSubestima a área, contando só os triângulos inteiros dentro da região e ignorando os parciais.
• CSuperestima em 1 cm², contando um triângulo parcial como inteiro.
• DSubestima em 1 cm², deixando de contar um triângulo parcial.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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