Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, A; versão 3, A; versão 4, E; versão 5, E.

Resolução comentada

Chame o lado de cada quadrado de \ell, com \ell^2 = 60. Coloque D=(0,0), C=(\ell,0), F=(2\ell,0), A=(0,\ell), B=(\ell,\ell), E=(2\ell,\ell).

A região cinza tem quatro triângulos. Cada um é delimitado pelas retas DE, AC e BF e pelos lados verticais AD, BC e EF.

1. Triângulo com vértice A, D e o ponto P onde AC cruza DE. A reta AC é y=\ell-x e a reta DE é y=x/2. Elas se cruzam em x=2\ell/3. Esse triângulo tem base AD=\ell e altura 2\ell/3, então sua área é \dfrac{1}{2}\cdot \ell\cdot \dfrac{2\ell}{3}=\dfrac{\ell^2}{3}=20.

2. Triângulo com vértices C, P e o ponto Q onde DE cruza BC. Em x=\ell, DE vale y=\ell/2, logo Q=(\ell,\ell/2). A base CQ mede \ell/2 e a altura é a distância de P à reta BC, ou seja, \ell-2\ell/3=\ell/3. Área: \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\ell}{2}\cdot \dfrac{\ell}{3}=\dfrac{\ell^2}{12}=5.

3. Triângulo com vértices B, Q e o ponto R onde BF cruza DE. A reta BF é y=2\ell-x e DE é y=x/2. Elas se cruzam em x=4\ell/3. A base BQ mede \ell/2 e a altura é \ell/3. Área: \dfrac{\ell^2}{12}=5.

4. Triângulo com vértices E, F e R. A base EF=\ell e a altura é 2\ell-4\ell/3=2\ell/3. Área: \dfrac{\ell^2}{3}=20.

Soma: 20+5+5+20=50\ \text{cm}^2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BConsidera só os dois triângulos grandes, de 20 cada, e ainda erra a conta, ignorando os dois pequenos.
• CNão corresponde a nenhuma soma correta das áreas dos triângulos.
• DValor maior que a área total dos dois quadrados (120), que é impossível para a parte cinza.
• EResulta de erro nas áreas dos triângulos pequenos (por exemplo, usar 2,5 em vez de 5 em cada um).

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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