Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, A; versão 3, E; versão 4, B; versão 5, C.

Resolução comentada

Seja a, b e c os lados dos três triângulos equiláteros recortados, um em cada canto.

O triângulo original tem perímetro 3\cdot 28 = 84 cm. Ao cortar um canto de lado a, tiramos a de cada um dos dois lados do triângulo grande que formam esse canto e colocamos um novo segmento de tamanho a (o corte). Ou seja, o perímetro muda: perde 2a e ganha a, diminuindo a.

Fazendo isso nos três cantos, o perímetro do hexágono é:

1. P_{hex} = 84 - a - b - c
2. Como P_{hex}=56: a+b+c = 84-56 = 28 cm.

O perímetro de cada triângulo recortado é 3 vezes o seu lado. Então a soma dos perímetros é:

Conferindo: os cortes não se sobrepõem, pois os lados dos triângulos pequenos ficam sobre os lados do grande, e a conta vale para qualquer posição dos cortes.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a conta; não resulta de 3(a+b+c) com a+b+c=28.
• BNão corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo.
• CNão corresponde ao triplo da soma dos lados, que é 84.
• ENão corresponde ao resultado de 3\cdot 28.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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