Questão 11 (Nível 1) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, C; versão 3, D; versão 4, E; versão 5, A.

Resolução comentada

Numa circunferência, não há ponto inicial nem final: com n pontos há exatamente n espaços (arcos) entre pontos consecutivos. Isso é diferente de uma reta, em que n pontos formam n-1 espaços.

1. Há 506 pontos azuis, logo 506 espaços entre azuis consecutivos.
2. Em cada espaço ela pintou um ponto branco: são 506 pontos brancos.
3. Agora a circunferência tem 506 + 506 = 1012 pontos, alternando azul, branco, azul, branco, ...
4. Entre quaisquer dois pontos consecutivos há um espaço, e todos esses espaços ligam pontos de cores diferentes (azul e branco). Como são 1012 pontos na circunferência, há 1012 espaços.
5. Em cada um desses 1012 espaços ela pintou um ponto verde.

Portanto, o número de pontos verdes é 1012.

Alternativa B.

Pegadinha: Tratar a circunferência como uma reta e usar n-1 espaços em vez de n espaços, o que leva a 1011 ou menos.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASoma 506 azuis, 506 brancos e mais 506, como se houvesse só 3 vezes 506 pontos verdes, sem contar os espaços corretamente.
• CUsa 1012 − 3 ou erra a contagem; trata como reta, perdendo espaços, o que não vale na circunferência.
• DTrata como segmento: 1011 espaços menos 1, ou 1012 − 2; na circunferência o número de espaços é igual ao de pontos.
• EConta só metade dos pontos azuis, sem relação com o número de espaços.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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