Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, A; versão 3, A; versão 4, E; versão 5, E.

Resolução comentada

O perímetro é a soma dos comprimentos dos segmentos do contorno externo da figura. Por isso, os trechos que ficam dentro das sobreposições não entram nessa soma.

Podemos começar somando os perímetros dos quatro retângulos separados e depois retirar os segmentos que ficaram internos.

1. Cada retângulo tem dois lados de comprimento a e dois de comprimento b. Assim, a soma dos quatro perímetros é:
   

   4\cdot(2a+2b)=8a+8b.

2. Cada sobreposição é um quadrado de lado b, pois esse é o lado menor dos retângulos. Os quatro lados desse quadrado são trechos dos contornos originais dos retângulos, mas ficam no interior da figura formada. Portanto, precisamos descontar 4b por quadrado.

3. Como há três quadrados de sobreposição, o desconto total é 3\cdot4b=12b. Logo:
   

   P=8a+8b-12b=8a-4b.

Colocando 4 em evidência, obtemos o perímetro, em centímetros:

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BReduz indevidamente a contribuição dos lados maiores para 4a.
• CConta apenas 4a e mantém 8b, sem descontar corretamente os trechos internos.
• DApresenta uma expressão de área, com unidade de centímetros quadrados, e não de perímetro.
• ESoma 4b a 8a, quando o resultado correto exige subtrair 4b.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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