Questão 9 (Nível 1) da OBMEP 2023

Question

José tem várias peças que se encaixam perfeitamente nos espaços dos tabuleiros abaixo. São 8 peças iguais em forma de quadrado ( peça quadrada roxa ) e 9 peças iguais em forma de triângulo ( peça triangular roxa ). É possível juntar duas peças em forma de triângulo para formar um quadrado que se encaixa no tabuleiro:

Dois triângulos retângulos isósceles que, ao lado de uma seta para a direita, formam um quadrado dividido pela diagonal

Qual dos tabuleiros abaixo José pode cobrir, sem sobreposição, usando todas as suas peças?

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 1) da OBMEP 2023

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

José tem várias peças que se encaixam perfeitamente nos espaços dos tabuleiros abaixo. São 8 peças iguais em forma de quadrado ( peça quadrada roxa ) e 9 peças iguais em forma de triângulo ( peça triangular roxa ). É possível juntar duas peças em forma de triângulo para formar um quadrado que se encaixa no tabuleiro:

Dois triângulos retângulos isósceles que, ao lado de uma seta para a direita, formam um quadrado dividido pela diagonal

Qual dos tabuleiros abaixo José pode cobrir, sem sobreposição, usando todas as suas peças?

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Se utilizarmos um quadrado como unidade de medida de área, vemos que 8 quadrados e 9 triângulos têm área total igual a 8 + 9 \times (1/2) = 12{,}5. Assim, descartamos a alternativa (E). Nas alternativas (A), (C) e (D) aparecem apenas 7 quadrados, mas deveríamos utilizar todos os 8 quadrados; logo, essas alternativas também devem ser descartadas. Resta o tabuleiro da alternativa (B), o qual pode ser coberto por todas as 17 peças, como no exemplo ao lado.

[Figura: Tabuleiro triangular preenchido na cor cinza e subdividido pelas linhas da malha, demonstrando a cobertura completa do tabuleiro da alternativa (B) por 8 quadrados e 9 triângulos retângulos.]

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Resolução comentada

Duas peças triangulares formam um quadrado. Portanto, cada triângulo ocupa metade da área de uma peça quadrada, e a área total das peças, em unidades de quadrado, é

8+\frac{9}{2}=12{,}5.

Mas não basta conferir a área: o tabuleiro também precisa acomodar as oito peças quadradas inteiras.

Nos tabuleiros A, C e D, contamos apenas sete espaços quadrados completos. Os demais espaços são triangulares e ficam nas bordas, sem formar outro espaço quadrado. Assim, esses tabuleiros não acomodam as oito peças quadradas de José.

No tabuleiro B, contando de baixo para cima, há 5+3+1=9 espaços quadrados. Também há sete espaços triangulares: dois em cada uma das três faixas inferiores e um no alto.

Para cobri-lo, José pode colocar suas oito peças quadradas em oito dos nove espaços quadrados. No espaço quadrado restante, coloca dois triângulos. Sobram

9-2=7\text{ triângulos},

exatamente a quantidade necessária para os sete espaços triangulares. Já o tabuleiro E tem área maior que a das peças disponíveis.

Alternativa B.

Pegadinha: A, C e D têm a área total correta, mas não acomodam as oito peças quadradas: conferir apenas a área não basta.

Por que as outras alternativas estão erradas

ATem apenas sete espaços quadrados completos, insuficientes para as oito peças quadradas.
CTem apenas sete espaços quadrados completos, sem lugar para a oitava peça quadrada.
DOferece apenas sete espaços quadrados completos, embora sua área total coincida com a das peças.
ESua área equivale a 14,5 quadrados, maior que os 12,5 quadrados disponíveis.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 9 no caderno Nível 1 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 1. Prova oficial ↗