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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Razão e proporção

Ao passear pela cidade, em vez de pegar uma avenida em linha reta que liga os pontos A e B, João caminhou pelos quarteirões quadrados da cidade, conforme indicado na figura, percorrendo um total de 6\ \text{km}. Qual é a distância, em linha reta, entre os pontos A e B?

Figura mostrando um segmento de reta tracejado horizontal ligando os pontos A (à esquerda) e B (à direita). Uma linha poligonal contínua também liga A a B, contornando 6 quadrados alternadamente acima e abaixo da linha tracejada. Para cada quadrado, o caminho sobe (ou desce) uma distância igual à metade do lado, avança horizontalmente pelo lado do quadrado e desce (ou sobe) de volta até a linha tracejada.

  1. A
    1{,}5\ \text{km}
  2. B
    2\ \text{km}
  3. C
    2{,}5\ \text{km}
  4. D
    3\ \text{km}
  5. E
    4\ \text{km}
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Resolução comentada

Em cada quadrado da figura, o caminho de João percorre três lados: um trecho vertical, um horizontal e outro vertical. Já a avenida tracejada corresponde ao quarto lado desse quadrado.

Como os quatro lados de um quadrado têm a mesma medida, o percurso feito por João em cada quarteirão é três vezes o trecho correspondente da avenida. Isso vale tanto para os quadrados acima quanto para os que estão abaixo da linha tracejada.

Você não precisa conhecer o tamanho de cada quarteirão. Se um quadrado tem lado \ell, ele contribui com 3\ell para a caminhada e com apenas \ell para a distância em linha reta. Ao somar todos os quadrados, essa proporção continua valendo.

Chamando a distância entre A e B de d, temos:

3d=6\ \text{km}.

Portanto,

d=\frac{6}{3}=2\ \text{km}.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem conta apenas um trecho vertical por quadrado e divide o percurso por dois.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADivide o percurso por quatro, mas João percorre três lados de cada quadrado, não quatro.
  • CNão respeita a proporção de três para um entre a caminhada e a distância em linha reta.
  • DDivide o percurso por dois, ignorando que há dois trechos verticais para cada trecho horizontal.
  • EConsidera a distância reta como dois terços do percurso, quando ela corresponde a um terço.

Assunto: Razão e proporção.

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Ver como caiu na prova Questão 2 no caderno Nível 3 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗