Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2023

Question

João tem bolas e caixas numeradas. Ele colocou as bolas 1 e 2 na primeira caixa, as de números 3, 4 e 5 na segunda caixa, as de números 6 e 7 na terceira caixa, as de números 8, 9 e 10 na quarta caixa, e assim por diante, ora colocando duas, ora colocando três bolas em caixas consecutivas. Qual é a caixa na qual João colocou a bola de número 2023?

A
100^a
B
405^a
C
406^a
D
808^a
E
810^a

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Sequências e padrões

João tem bolas e caixas numeradas. Ele colocou as bolas 1 e 2 na primeira caixa, as de números 3, 4 e 5 na segunda caixa, as de números 6 e 7 na terceira caixa, as de números 8, 9 e 10 na quarta caixa, e assim por diante, ora colocando duas, ora colocando três bolas em caixas consecutivas. Qual é a caixa na qual João colocou a bola de número 2023?

A
100^a
B
405^a
C
406^a
D
808^a
E
810^a

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos contar em grupos de 5.

Na 1ª caixa João colocou as bolas 1 e 2,

na 2ª caixa ele colocou as bolas 3, 4 e 5 = 1 \times 5 = (2/2) \times 5,

na 3ª caixa ele colocou as bolas 6 e 7,

na 4ª caixa ele colocou as bolas 8, 9 e 10 = 2 \times 5 = (4/2) \times 5,

na 5ª caixa ele colocou as bolas 11 e 12,

na 6ª caixa ele colocou as bolas 13, 14 e 15 = 3 \times 5 = (6/2) \times 5 e, procedendo indutivamente, vemos que

na 808ª caixa ele colocou as bolas 2018, 2019 e 2020 = 404 \times 5 = (808/2) \times 5,

na 809ª caixa ele colocou as bolas 2021, 2022,

na 810ª caixa ele colocou as bolas 2023, 2024 e 2025.

(utilizamos o fato que 2023 dividido por 5 tem quociente 404 e resto 3).

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

As caixas se repetem em pares: a caixa ímpar recebe 2 bolas e a caixa par recebe 3 bolas. Então cada par de caixas consecutivas (1ª e 2ª, 3ª e 4ª, ...) recebe 2+3=5 bolas.

Depois de k pares de caixas, já foram usadas 5k bolas e 2k caixas.
Dividindo: 2023 = 5\cdot 404 + 3. Logo, as 404 primeiras duplas de caixas (808 caixas) guardam as bolas de 1 a 2020.
As bolas restantes, 2021, 2022 e 2023, vão para as caixas seguintes: a caixa 809 (ímpar, recebe 2 bolas) fica com 2021 e 2022.
A bola 2023 é a primeira da caixa 810 (par, recebe 3 bolas: 2023, 2024, 2025).

Conferindo com o início: a caixa 2 termina na bola 5, a caixa 4 termina na bola 10, e a caixa 2k termina na bola 5k. Para k=404, a caixa 808 termina na bola 2020, o que confirma o resultado.

A bola 2023 está na caixa 810.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem faz 404\cdot 2=808 e esquece o resto da divisão 2023 = 5\cdot 404 + 3, que leva a mais duas caixas.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com o padrão; não considera que cada 2 caixas guardam 5 bolas.
BDivide 2023 por 5 e usa o quociente aproximado como número da caixa, esquecendo que são 2 caixas por 5 bolas.
CCalcula 2023/5 ≈ 404,6 e arredonda para 405 ou 406 como caixa, esquecendo de dobrar (cada grupo de 5 bolas ocupa 2 caixas).
DPara na caixa 808, que termina na bola 2020; esquece que 2021 a 2023 ainda precisam de mais caixas.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗