Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2023

Resolução comentada

Seja P o produto comum dos números em faces opostas. As três faces visíveis (6, 3 e 1) são faces que se encontram em um vértice, ou seja, duas a duas não são opostas. Cada uma delas tem uma oposta, e as opostas valem P/6, P/3 e P/1 = P.

Os seis números são então: 1,\ 3,\ 6,\ P,\ P/3,\ P/6, todos inteiros positivos e diferentes.

Existem 3 faces com produto 98 = 2\cdot 7^2. Como 98 tem fator 7^2 e 1, 3, 6 não têm fator 7, o 7 deve vir de P, P/3 ou P/6. Os três números do produto 98 não podem incluir um par de faces opostas, senão o produto seria P vezes um terceiro número. Vamos testar essa possibilidade: se P = 98/x fosse isso, precisaríamos de P\cdot x=98 com x sendo outra face. Isso é inviável com as faces restantes, então tomamos uma face de cada par.

Escolha uma face de cada par: \{1\text{ ou }P\}, \{3\text{ ou }P/3\}, \{6\text{ ou }P/6\}. O produto é 98, que não é divisível por 3. Logo as faces 3 e 6 não entram, e entram P/3 e P/6, além de 1 ou P.

• Com 1: \dfrac{P}{3}\cdot\dfrac{P}{6}\cdot 1=98 \Rightarrow P^2=1764 \Rightarrow P=42.
• Com P: P^3/18=98 \Rightarrow P^3=1764, que não é cubo perfeito.

Assim P=42 e os números são 1, 3, 6, 42, 14, 7, todos diferentes. Conferindo: 1\cdot 14\cdot 7=98. Faz sentido.

O maior número é 42.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A7 é apenas uma das faces; não é o maior número.
• B14 é uma das faces (oposta ao 3), mas não é a maior.
• C21 não aparece no cubo; não corresponde a nenhuma oposta de 1, 3 ou 6.
• D28 não aparece no cubo; não é oposto de nenhum dos números dados.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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