Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2023

Resolução comentada

Chame os dois números escolhidos de a e b. A soma de todos os números de 1 a 17 é \frac{17\cdot 18}{2}=153.

Os 15 números restantes somam 153-a-b. A condição do problema é:

Passando a+b para o lado esquerdo: ab+a+b=153. Somando 1 dos dois lados, dá para fatorar:

Agora é preciso escrever 154=2\cdot 7\cdot 11 como produto de dois fatores, ambos entre 2 e 18 (pois a,b estão entre 1 e 17):

1. 154=11\cdot 14, que dá a=10 e b=13.
2. 154=7\cdot 22 e 154=2\cdot 77 não servem, pois 22 e 77 passam de 18.
3. 154=1\cdot154 também não serve.

Logo os números são 10 e 13, e o produto é 10\cdot 13=130.

Conferindo: a soma dos demais é 153-23=130. Confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhum par possível: 100 não satisfaz (a+1)(b+1)=154.
• B110 daria soma restante 110, mas nenhum par de produto 110 tem soma 43.
• C120 não resulta de um par que satisfaça ab+a+b=153.
• E140 não é obtido por nenhum par válido do conjunto.

Assunto: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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