Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2023

Question

Em um teatro, cinco garotos e cinco garotas escolheram aleatoriamente seus lugares em uma fila com exatamente 10 cadeiras. Dado que as cinco garotas estão em 5 cadeiras adjacentes, qual é a probabilidade de que os cinco garotos também estejam em 5 cadeiras adjacentes?

Ilustração de uma fileira horizontal contendo exatamente dez poltronas de teatro vermelhas, dispostas lado a lado.

A
1
B
3/4
C
1/3
D
2/5
E
1/2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Probabilidade condicional

Em um teatro, cinco garotos e cinco garotas escolheram aleatoriamente seus lugares em uma fila com exatamente 10 cadeiras. Dado que as cinco garotas estão em 5 cadeiras adjacentes, qual é a probabilidade de que os cinco garotos também estejam em 5 cadeiras adjacentes?

Ilustração de uma fileira horizontal contendo exatamente dez poltronas de teatro vermelhas, dispostas lado a lado.

A
1
B
3/4
C
1/3
D
2/5
E
1/2

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Dado que as meninas ocupam 5 lugares consecutivos, há 6 possibilidades para a localização desses lugares (o lugar mais à esquerda pode ser o 1^o , o 2^o , etc, até o 6^o). Dessas localizações, apenas na primeira e na última os outros 5 lugares são consecutivos.

[Figura: Esquema em grade com 10 colunas numeradas de 1 a 10 e 6 linhas horizontais. Na 1ª linha, as posições de 1 a 5 estão sombreadas em cinza-escuro; na 2ª linha, as posições de 2 a 6 estão em cinza-claro; na 3ª linha, as de 3 a 7 em cinza-claro; na 4ª linha, as de 4 a 8 em cinza-claro; na 5ª linha, as de 5 a 9 em cinza-claro; e na 6ª linha, as posições de 6 a 10 estão sombreadas em cinza-escuro.]

Logo, a probabilidade de que os meninos fiquem juntos quando as meninas estão juntas é

\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Alternativamente, poderíamos contar as posições específicas das meninas:

\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}} = \frac{2.5.4.3.2.1}{6.5.4.3.2.1} = \frac{1}{3}

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Vamos contar as posições possíveis do bloco das garotas e, para cada uma, ver quando os garotos também ficam juntos.

O bloco de 5 garotas ocupa 5 cadeiras consecutivas. Ele pode começar nas cadeiras 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, ou seja, há 6 posições possíveis. Como os lugares são escolhidos aleatoriamente, cada posição do bloco é igualmente provável (e a ordem interna não altera a questão).

Os garotos ocupam as 5 cadeiras restantes. Analisamos cada caso:

Bloco começa na cadeira 1: sobram as cadeiras 6 a 10, que são adjacentes. Serve.
Começa na 2: sobram a cadeira 1 e as cadeiras 7 a 10. Não são adjacentes.
Começa na 3: sobram 1, 2 e 8, 9, 10. Não serve.
Começa na 4: sobram 1, 2, 3 e 9, 10. Não serve.
Começa na 5: sobram 1 a 4 e a 10. Não serve.
Começa na 6: sobram as cadeiras 1 a 5, adjacentes. Serve.

Portanto, dos 6 casos igualmente prováveis, só 2 favorecem: os garotos ficam juntos apenas se as garotas estiverem em uma das extremidades.

P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASupõe que os garotos sempre ficam juntos, mas isso só ocorre se as garotas estiverem numa extremidade.
BNão corresponde à contagem: só 2 das 6 posições do bloco servem.
DSeria 2/5, resultado de contar 5 posições em vez de 6 para o bloco.
ESeria 3/6, contando mais casos favoráveis do que realmente existem.

Assunto: Probabilidade condicional.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 18 no caderno Nível 3 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗